Avbildning

[Determined]

La $A = \{(x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$ og $B = \{ (x,y) \in R^2 : (\frac{x-x_0}{a})^2+(\frac{y-y_0}{b})^2 \leq 1 \}$ for $(x_0,y_0) \in R^2$ og $a,b > 0$. La $F = R^2 \rightarrow R^2$ være avbildningen $F(x,y)=(x_0+ax,y_0+by)$.

Da er det vel sånn at F avbilder B på A, og ikke A på B?

Om F avbilder B på A, kan man jo sette $x_0+ax$ for $x$ og $y_0+by$ for $y$ i B, slik at man får A.

Eller tar jeg feil?

EDIT: Har et spørsmål til!

For å vise at $F$ har en invers $F^{-1}$ som avbilder "den motsatte veien" av ovenfor, altså det jeg antok var $B \rightarrow A$, som da blir $A \rightarrow B$, hva må man da gjøre? Holder det å hevde at F er injektiv?

[Kork]

For å vise at F har en invers F−1 som avbilder "den motsatte veien" av ovenfor, altså det jeg antok var B→A, som da blir A→B, hva må man da gjøre? Holder det å hevde at F er injektiv?

Den må være en-til-en(injektiv) og "onto"(surjektiv), fordi at en invers er alltid definert på hele kodomenet til den opprinnelige.

Edit: Det er vel mer riktig å si at en invers funksjon kun er definert for funksjoner som er både en-til-en og onto.

[Gustav]

La $A = \{(x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$ og $B = \{ (x,y) \in R^2 : (\frac{x-x_0}{a})^2+(\frac{y-y_0}{b})^2 \leq 1 \}$ for $(x_0,y_0) \in R^2$ og $a,b > 0$. La $F = R^2 \rightarrow R^2$ være avbildningen $F(x,y)=(x_0+ax,y_0+by)$.

Da er det vel sånn at F avbilder B på A, og ikke A på B?

Om F avbilder B på A, kan man jo sette $x_0+ax$ for $x$ og $y_0+by$ for $y$ i B, slik at man får A.

Eller tar jeg feil?

Hvis $(x,y)$ er et punkt slik at $x^2+y^2\leq 1$, så vil vel $(\tilde{x},\tilde{y})=(x_0+ax,y_0+by)$ være et punkt som tilfredsstiller $(\frac{\tilde{x}-x_0}{a})^2+(\frac{\tilde{y}-y_0}{b})^2 \leq 1 $, så F avbilder A inn i B.

[Determined]

La $A = \{(x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$ og $B = \{ (x,y) \in R^2 : (\frac{x-x_0}{a})^2+(\frac{y-y_0}{b})^2 \leq 1 \}$ for $(x_0,y_0) \in R^2$ og $a,b > 0$. La $F = R^2 \rightarrow R^2$ være avbildningen $F(x,y)=(x_0+ax,y_0+by)$.

Da er det vel sånn at F avbilder B på A, og ikke A på B?

Om F avbilder B på A, kan man jo sette $x_0+ax$ for $x$ og $y_0+by$ for $y$ i B, slik at man får A.

Eller tar jeg feil?

Hvis $(x,y)$ er et punkt slik at $x^2+y^2\leq 1$, så vil vel $(\tilde{x},\tilde{y})=(x_0+ax,y_0+by)$ være et punkt som tilfredsstiller $(\frac{\tilde{x}-x_0}{a})^2+(\frac{\tilde{y}-y_0}{b})^2 \leq 1 $, så F avbilder A inn i B.

Huff, da har jeg mobbet litt her. Med tanke rekkefølgen av A og B i avbildningen. Håper ikke det er krise i forhold til karakter på eksamen...

[Determined]

For å vise at F har en invers F−1 som avbilder "den motsatte veien" av ovenfor, altså det jeg antok var B→A, som da blir A→B, hva må man da gjøre? Holder det å hevde at F er injektiv?

Den må være en-til-en(injektiv) og "onto"(surjektiv), fordi at en invers er alltid definert på hele kodomenet til den opprinnelige.

Edit: Det er vel mer riktig å si at en invers funksjon kun er definert for funksjoner som er både en-til-en og onto.

Hm, takk for svar. Jeg pekte bare på injektivitet jeg. Som jeg forørig forklarte med at $F_1(x,y)=x_0+ax$ og $F_2(x,y)=y_0+by$ er lineære funksjoner. Men det holder kanskje ikke dette...

[Gustav]

La $A = \{(x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$ og $B = \{ (x,y) \in R^2 : (\frac{x-x_0}{a})^2+(\frac{y-y_0}{b})^2 \leq 1 \}$ for $(x_0,y_0) \in R^2$ og $a,b > 0$. La $F = R^2 \rightarrow R^2$ være avbildningen $F(x,y)=(x_0+ax,y_0+by)$.

Da er det vel sånn at F avbilder B på A, og ikke A på B?

Om F avbilder B på A, kan man jo sette $x_0+ax$ for $x$ og $y_0+by$ for $y$ i B, slik at man får A.

Eller tar jeg feil?

Hvis $(x,y)$ er et punkt slik at $x^2+y^2\leq 1$, så vil vel $(\tilde{x},\tilde{y})=(x_0+ax,y_0+by)$ være et punkt som tilfredsstiller $(\frac{\tilde{x}-x_0}{a})^2+(\frac{\tilde{y}-y_0}{b})^2 \leq 1 $, så F avbilder A inn i B.

Huff, da har jeg mobbet litt her. Med tanke rekkefølgen av A og B i avbildningen. Håper ikke det er krise i forhold til karakter på eksamen...

Fort gjort å bli forvirret i slike tilfeller. Jeg måtte tenke meg om to ganger selv for å være sikker, men tror det blir sånn..

[Gustav]

For å vise at F har en invers F−1 som avbilder "den motsatte veien" av ovenfor, altså det jeg antok var B→A, som da blir A→B, hva må man da gjøre? Holder det å hevde at F er injektiv?

Den må være en-til-en(injektiv) og "onto"(surjektiv), fordi at en invers er alltid definert på hele kodomenet til den opprinnelige.

Edit: Det er vel mer riktig å si at en invers funksjon kun er definert for funksjoner som er både en-til-en og onto.

Hm, takk for svar. Jeg pekte bare på injektivitet jeg. Som jeg forørig forklarte med at $F_1(x,y)=x_0+ax$ og $F_2(x,y)=y_0+by$ er lineære funksjoner. Men det holder kanskje ikke dette...

Du kan simpelthen bare finne den inverse direkte,

$\tilde{x}=x_0+ax$, $\tilde{y}=y_0+by$, så $x=\frac{\tilde{x}-x_0}{a}$ og $y=\frac{\tilde{y}-y_0}{b}$. La

$G (\tilde{x},\tilde{y})=(\frac{\tilde{x}-x_0}{a},\frac{\tilde{y}-y_0}{b})$.

Siden komposisjonene $F(G(x,y))=G(F(x,y) = (x,y)$ er $G=F^{-1}$

[Determined]

Søren ass. Da har jeg rotet det til.

Men takk for svar!