"Epsilon-delta argumentasjon"

[Determined]

Definisjonen av en kontinuerlig funksjon er slik:

En funksjon f er kontinuerlig i et punkt $a \in D_f$ dersom følgende gjelder: For enhver $\epsilon > 0$ (uansett hvor liten), finnes det en $\delta > 0$ slik at når $x \in D_f$ og $|x-a| < \delta$, så er $|f(x)-f(a)| < \epsilon$.

Jeg forstår konseptet, men jeg lurer litt på språkbruken. Kan man ikke like gjerne si: For enhver $\epsilon > 0$ og $\delta > 0$, så er funksjonen f kontinuerlig i a om $|x-a| < \delta \Leftrightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$?

For min del hadde det blitt enklere... men jeg skjønner jo at matematiske formuleringer er svært subtile, så det blir kanskje feil og er en grunn til at dette ikke brukes?

[jhoe06]

Kan man ikke like gjerne si: For enhver $\epsilon > 0$ og $\delta > 0$, så er funksjonen f kontinuerlig i a om $|x-a| < \delta \Leftrightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon$?

For å oversette det du sier: $\epsilon$ og $\delta$ kan begge være vilkårlige positive tall, og da vil alltid $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ dersom $|x-a| < \delta$, og alltid $|x-a| < \delta$ dersom $|f(x)-f(a)| < \epsilon$. Ser du hvorfor dette må være feil? Sett for eksempel $f(x) = x$, dette er en funksjon vi mener bør være kontinuerlig. Men ifølge denne definisjonen er ikke f kontinuerlig i et eneste punkt $a\in D_f$. Sett $\delta = 3$ og $\epsilon = 1$, for $x=a+2$ har vi da at $|x-a| = 2 < \delta$ og $|f(x)-f(a)| = 2 > \epsilon$.

Du kan tenke på det som et spill. Dere er to spillere. Foran dere har dere en boks med uendelig mange lapper: en for hvert punkt [tex]x \in D_f[/tex]. Du trekker en lapp med et tall [tex]a \in D_f[/tex] og leser det opp for motstanderen din. Etter en liten tenkepause, sier motspilleren din et tall [tex]\epsilon > 0[/tex], og utfordrer deg: kan du finne et tall [tex]\delta > 0[/tex], slik at for absolutt alle $x\in (a-\delta, a+\delta)$, så vil $|f(x)-f(a)|<\epsilon $? Hvis du alltid kan vinne dette spillet, er funksjonen kontinuerlig.

[Determined]

Hum, ja. Du har rett, det blir jo helt feil...

Ja dette spillet var en god idé. Jeg skjønner jo egentlig tankegangen; liker visualiseringen med å "klemme" sammen $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ med $|x-a| < \delta$.