Trigonometri, vis eksakt verdi av sinus

[kenewbie]

Bildet som tilhører oppgaveteksten + ett der jeg har fylt ut litt flere verdier ligger her : http://imgur.com/34ryf.png.

Merk: Meningen med oppgaven er å vise den eksakte verdien for sinus av en viss vinkel, så den kan ikke løses ved hjelp av trig-funksjoner.

Oppgave:
Trekant ABC på figuren er en av de ti kongruente trekantene som en regulær tikant er sammensatt av. Derfor er AC = BC og vinkel C = 36 grader. Punktet D på AC er bestemt av at linja BD halverer vinkel B.

Vi setter AC = BC = r og AB = s.

a) Vis at vi da får [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r - s}[/tex]

Denne er grei, det kan vises ved at trekant ABC er formlik trekant DAB. Siden de er formlike må forholdet [tex]\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}[/tex]. Erstatt dette med r og s for å få [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{AD}[/tex]. AD = AC - DC og DC = BD = AB = s som gir AD = AC - s som igjen gir AD = r - s. Altså [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r - s}[/tex]

b) Vis at [tex] s= \frac{r}{2}(\sqrt{5} - 1)[/tex]

Her sliter jeg. Hvis jeg halverer vinkel ABD så får jeg en rettvinklet trekant med 18 graders vinkel i B, men jeg vet ikke en gang om det hjelper meg spesielt videre.

All hjelp mottas med takk.

k

[Vektormannen]

Du har et uttrykk [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r-s}[/tex]. Du ønsker å omforme dette til et uttrykk for s:

[tex]s^2 = r(r-s)[/tex]

[tex]s^2 + rs - r^2 = 0[/tex]

Hva kan du gjøre nå for å finne et uttrykk for s?

[kenewbie]

Du har et uttrykk [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r-s}[/tex]. Du ønsker å omforme dette til et uttrykk for s:

[tex]s^2 = r(r-s)[/tex]

[tex]s^2 + rs - r^2 = 0[/tex]

Hva kan du gjøre nå for å finne et uttrykk for s?

Takker så meget! Det hjelp definitivt. Jeg vurderte ikke å jobbe videre med det samme utrykket engang, dumme meg.

Jeg får [tex] s= \frac{r}{2}(\pm\sqrt{5} - 1)[/tex] men jeg regner med de bare har forkastet den negative løsningen.

Nok en gang, takk skal du ha.

k

[Vektormannen]

Ja, sidelengden er nok ikke negativ :p

[kenewbie]

Ja, sidelengden er nok ikke negativ :p

Jeg har lest et sted at man skal være forsiktig med å forkaste løsninger bare fordi man ikke har en god tolkning som passer sammen med dem

k

[malef]

I oppgave c) skal man bruke svaret fra oppgave b) til å finne eksakte verdier for [tex]\sin(18^\circ)[/tex] og [tex]\cos(18^\circ)[/tex]. Jeg får da at [tex]\sin(18^\circ)=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)[/tex] og [tex]\cos(18^\circ)=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}[/tex]

I oppgave d) skal man bruke svaret fra oppgave c) til å finne de eksakte verdiene til [tex]\sin(36^\circ)[/tex] og [tex]\cos(36^\circ)[/tex].

For sinusverdien bruker jeg at [tex]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/tex] og får [tex]\frac{1}{8}(\sqrt{5}-1)\sqrt{2(5+\sqrt{5})}[/tex]

Fasiten sier [tex]\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex]. Jeg kan ikke skjønne annet enn at dette er samme svaret skrevet på ulike måter, men hvordan kommer jeg fra mitt svar til fasitens?

[Nebuchadnezzar]

Elementær algebra

Velger å heller gi deg vage og uforklarlige hint, for å late som jeg hjelper deg til selvstendig læring,
I stedet for å gi deg svaret så du forstår metoden
Legg heller merke til følgende

• 1) $ \displaystyle \quad
  1 + \sqrt{5} = \sqrt{ \bigl( 1 + \sqrt{5} \, \bigr)^2} = \sqrt{ 6 - 2\sqrt{2\,}\,}
  $.
  
  2) $ \displaystyle \quad
  \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{1}{4} }
  $

Ved å bruke 1) og 2) kan du skrive om uttrykket ditt.
Skriv alt unntatt $1/4$ under ett rottegn, og gang sammen. Da får kanskje, muligens noe "pent".

Teorien bak er at $(c + \sqrt{d} )^n \: n\in \mathbb{N}$, alltid kan uttrykkes som $a_n + b_n \sqrt{d}$ hvor $a_n , b_n \in \mathbb{Q}$.
Som kan vises eksempelvis ved den binomiske formelen, eller elementær lineær algebra.

[malef]

Takk skal du ha! Forklaringen var akkurat så ubegripelig at jeg kan håpe at jeg lærte noe

Vi har altså at [tex]\frac{1}{8}(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})} \\ \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex]

Det verste er at du har rett i at det er elementær algebra. Men man må jo ha falkeblikk for å se hvor man skal begynne!

[Nebuchadnezzar]

Ligger host, kremt en del faktoriseringsoppgaver i nøtteforaet. Ellers er det bare å fortsatte å spørre om noe er uklart!

Er vanlig dødelig jeg og, bommet første gang jeg skulle faktorisere den oppgaven, så ikke føl deg nedfor.

[malef]

Takk for det - det kommer jeg nok til å gjøre!

Jeg hadde store planer om å drive med kalkulus det siste halve året, men nå koker det (forhåpentligvis) ned til at jeg bruker resten av juli til å regne meg gjennom de oppgavene i Cosinus R2 jeg ikke fikk gjort da jeg tok R2.