Likninger

[FAB]

Hei!

Jeg har møtt på en del logaritmer, eksponential funksjoner dette kapitelet, og jeg har møtt noen oppgaver som gir meg, f.eks:

[tex]0,5x^(1,3)=x[/tex]


Hvordan regner man ut en slik likning, jeg blir veldig usikker på om jeg skal fjerne x, eller tenke på 1,3 over på andre siden (gjør nesten ingenting XD), eller bruke lg, hvordaan ville du regnet den? Hadde hjulpet veldig å se utregningen :/
Også:

[tex]3000-200x=3000*0.91^(x)[/tex]

Igjen nesten samme, en likning, men det er opphøyet i x. Trenger hjelp!


Mvh
FAB

[Janhaa]

Hei!Jeg har møtt på en del logaritmer, eksponential funksjoner dette kapitelet, og jeg har møtt noen oppgaver som gir meg, f.eks:
Igjen nesten samme, en likning, men det er opphøyet i x. Trenger hjelp! :)MvhFAB

[tex]0,5x^{1,3}=x[/tex]
del på [tex]x^{1,3}[/tex]

[tex]0,5=x^{1-1,3}=x^{-0,3}[/tex]

[tex]x=(0,5)^{\frac{1}{-0,3}}=10,08[/tex]

[FAB]

Hei!

Ok, jeg glemte helt det:
[tex]\frac{A^n}{A^m}=a^(n-m)[/tex]

Hvordan vil den andre lyde?
Nevnte oppe hva jeg glemte, forresten opphøyd i n-m, hvis det ikke er tydelig. Andre oppgave var 0,91 opphyd med x Eksponential funksjon på den ene siden, help

Mvh
FAB

[Janhaa]

Hei![tex]3000-200x=3000*0.91^(x)[/tex]Igjen nesten samme, en likning, men det er opphøyet i x. Trenger hjelp! :)MvhFAB

[tex]3000-200x=3000*0.91^{x}[/tex]
?
men dette er vel en transcendent likning (transcendental equation), så vidt jeg ser. har ikke prøvd noe særlig altså...

( http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function )

[Determined]

Hei![tex]3000-200x=3000*0.91^(x)[/tex]Igjen nesten samme, en likning, men det er opphøyet i x. Trenger hjelp! :)MvhFAB

[tex]3000-200x=3000*0.91^{x}[/tex]
?
men dette er vel en transcendent likning (transcendental equation), så vidt jeg ser. har ikke prøvd noe særlig altså...

( http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function )

Er det ikke slik at man må nøye seg med å vise at løsninger finnes, og tilnærme disse med f.eks. Newtons metode?

[Nebuchadnezzar]

Rimelig greit at en triviell løsning er x=0 vel ?

[Janhaa]

brukte vel 5 sek på oppgava da, men sjølsagt enig med dere begge to...

[Determined]

Hehe, jeg burde sett løsninga!

Et geometrisk argument forteller at det er den eneste?

[Nebuchadnezzar]

Via rask hoderegning fås
$
1 - \frac{x}{15} = a^x
$
Legg merke til at høyreside er synkende og venstre side er stigende
hvis a>0. Slik at eneste løsning av likningen vil da være den trivielle $x=0$

Dersom $a<1$ er høyresiden synkende. Vi ser og at venstresiden krysser $x$-aksen for $x=15$, slik at mulige skjæringspunkt må ligge mellom $0$ og $15$. Da $a^x$ aldri er negativ.

Hvis $a \ll 1$ så vil høyresiden synke ekstremt raskt og en god tilnærming blir da at $a^x \sim 0$. Slik at løsningen blir $x=15$.

Alt dette kan generaliseres ved å bytte ut $15$ med eksempelvis $\beta$.

Dessverre så er ikke $a$ mye mindre enn 1. Her er jo $a=0.91$, så vi funksjonen har nøyaktig to løsninger.

$x=0$ og $x$ mellom $0$ og $15$.

Ved å tafse på kalkulatoren, kan du prøve deg frem og se når sidene er mest like. Da vil du her få at $x \approx 7.836811929$.

Alternativt kan du som nevnt bruke mer avanserte metoder som Newtons tilnærmingsmetode. Men de er forbeholdt kalde vinterdager på universitetet, fri for sommerbrus og sol.

EDIT: Og ja LambertW er en røver, men her blir det noe grisete grunnet konstanten. Er vel bare å skifte funksjonen men noe kjedelig læll.