Invers hyperbol
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
hvis disse 2 kombineres med tilsarende y = cosh(1/x) så kommer du i mål
[tex]\text sech(y)=2/(exp(y)+(exp(-y))=x[/tex]
[tex]y=\text arsech(x)=\ln(1+\sqrt{(1-x^2})/x)[/tex]
[tex]\text sech(y)=2/(exp(y)+(exp(-y))=x[/tex]
[tex]y=\text arsech(x)=\ln(1+\sqrt{(1-x^2})/x)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Da skriver jeg like så godt opp forholdet for oversiktens skyld. Hyperbol-funksjoner er ganske nytt for meg, så greit å få litt trening :p
[tex]sechx = \frac {1}{coshx}[/tex] [tex]= \frac {2}{e^x + e^{-x}}[/tex]
Finner først inversen:
[tex]x = \frac {2e^y}{(e^y)^2 + 1} = arsechx[/tex]
[tex]x(e^y)^2 - 2(e^y) + x = 0[/tex]
[tex]e^y = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot x \cdot x}}{2x}[/tex] [tex]= \frac {1}{x} \pm \frac {\sqrt{4(1-x^2)}}{2x} =[/tex] [tex]\frac{1}{x} \pm \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
[tex]e^y[/tex] kan ikke bli negativ, så [tex]0 < x \leq 1[/tex]:
[tex]e^y = \frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
[tex]y = ln(\frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}) = arsechx[/tex]
Antar at [tex]arcoshx[/tex] er kjent, og da kan en se hva som skjer om en putter inn [tex]\frac{1}{x}[/tex] for [tex]x[/tex]:
[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \sqrt{\frac {1}{x^2} - 1})[/tex]
Multipliserer kvadratrotuttrykket med [tex]\frac {\sqrt x^2}{x}[/tex]. Siden domenet for x allerede er definert, blir uttrykket alltid positivt. Dette gir:
[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \frac {\sqrt {1-x^2}}{x})[/tex], som er lik [tex]arsechx[/tex] som var det som skulle vises.
[tex]sechx = \frac {1}{coshx}[/tex] [tex]= \frac {2}{e^x + e^{-x}}[/tex]
Finner først inversen:
[tex]x = \frac {2e^y}{(e^y)^2 + 1} = arsechx[/tex]
[tex]x(e^y)^2 - 2(e^y) + x = 0[/tex]
[tex]e^y = \frac {2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot x \cdot x}}{2x}[/tex] [tex]= \frac {1}{x} \pm \frac {\sqrt{4(1-x^2)}}{2x} =[/tex] [tex]\frac{1}{x} \pm \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
[tex]e^y[/tex] kan ikke bli negativ, så [tex]0 < x \leq 1[/tex]:
[tex]e^y = \frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
[tex]y = ln(\frac{1}{x} + \frac {\sqrt{1-x^2}}{x}) = arsechx[/tex]
Antar at [tex]arcoshx[/tex] er kjent, og da kan en se hva som skjer om en putter inn [tex]\frac{1}{x}[/tex] for [tex]x[/tex]:
[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \sqrt{\frac {1}{x^2} - 1})[/tex]
Multipliserer kvadratrotuttrykket med [tex]\frac {\sqrt x^2}{x}[/tex]. Siden domenet for x allerede er definert, blir uttrykket alltid positivt. Dette gir:
[tex]arcosh(\frac {1}{x}) = ln(\frac {1}{x} + \frac {\sqrt {1-x^2}}{x})[/tex], som er lik [tex]arsechx[/tex] som var det som skulle vises.
Fysikk og matematikk (MTFYMA, Sivilingeniør/Master 5-årig) ved NTNU