Vann fra kjegle til sylinder

[marvango]

"A water tank shaped like a cone pointing downwards is 10 metres high. 2 metres above the tip the radius is 1 metre. Water is pouring from the tank into a cylindrical barrel with vertical axis and a diameter of 8 metres. Assume that the height of the water in the tank is 4 metres, and is decreasing at a rate of 0.2 metres per second. How fast is the height of the water in the barrel changing?"

Har laget en formel for volumet av vannet i sylinderen (V) som funksjon av tiden (t):[tex]V(t)=16pi/3-(1/3pi*(4-0.2)^3/4)[/tex] og derivert den [tex]V'(t)=1/20pi*(4-0.2t)^2[/tex]

Hva er den deriverte her? Farten volumet endres? Og hvordan kommer jeg videre?

[Janhaa]

dette er vel diff.likninga du trenger...

[tex]\large \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}[/tex]

How fast is the height of the water in the barrel changing: dV/dh
[tex]\large \frac{dh}{dt}[/tex]:0,2 m/s

[marvango]

Ok. Så jeg kan ikke ta resonneringen min videre på noe vis?

Kommer tilbake etter jeg har funnet ut av hva differensiallikninger er.

[Janhaa]

Ok. Så jeg kan ikke ta resonneringen min videre på noe vis?
Kommer tilbake etter jeg har funnet ut av hva differensiallikninger er.

har du noe fasit. jeg fikk:
[tex]dV/dt = 0,8\pi[/tex]
og
[tex]dV/dh=4\pi[/tex]

[marvango]

Har ikke fasit dessverre.
Har jeg rett når jeg tolker det du skrev som: [tex]V'(t)=V'(h)*h'(t)[/tex]?
Men hvilken h og hvilken V? h(t) og V(t) er forskjellig i begge beholderne.

[marvango]

Never mind, må tenke litt.

[Janhaa]

Og er det ikke h'(V) jeg vil finne (farten på høyden i sylinderen)?

i slike oppgaver konsentrerer jeg meg om der endringa skjer. altså kjegla, ikke sylinder'n. du må finne V(h(t)), dvs altså volumet må uttrykkes som en funksjon av h.
dette klarer du med å betrakte formlike trekanter i kjegla, f.eks R = (a/b)*H, a og b er konstaner
så veit vi:

[tex]V=(\pi/3)R^2H=(\pi/3)*(a*H/b)^2*H[/tex]
der H = H(t), så

[tex]dV/dt=\left(d((\pi/3)*(a*H/b)^2*H) / dH\right)*dH/dt[/tex]

dH/dt er jo kjent

[marvango]

Og er det ikke h'(V) jeg vil finne (farten på høyden i sylinderen)?

i slike oppgaver konsentrerer jeg meg om der endringa skjer. altså kjegla, ikke sylinder'n. du må finne V(h(t)), dvs altså volumet må uttrykkes som en funksjon av h.
dette klarer du med å betrakte formlike trekanter i kjegla, f.eks R = (a/b)*H, a og b er konstaner
så veit vi:

[tex]V=(\pi/3)R^2H=(\pi/3)*(a*H/b)^2*H[/tex]
der H = H(t), så

[tex]dV/dt=\left(d((\pi/3)*(a*H/b)^2*H) / dH\right)*dH/dt[/tex]

dH/dt er jo kjent

Er det ikke det jeg har gjort i førsteposten?

[tex]h'(t)=0.2[/tex]
[tex]h(t)=4-0.2t[/tex]
[tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]
Så satt jeg h(t) inn i V(h) og fikk
[tex]V(h(t))=1/3pi*(4-0.2t)^3/4[/tex]

Det totale volumet av vann er [tex]16pi/3[/tex]

Vannet som renner ned i sylinderen er derfor [tex]y=16pi/3-V(h(t))[/tex]
Endringen i vannvolum er da y'

Så må jeg gjøre hele greia motsatt vei fra y' for å finne h(t) for sylinderen.

Det er sånn jeg tenker.

[marvango]

For å si det på en annen måte, så er problemet mitt dette:
"Vann renner inn i en sylinder med 4m radius. Farten på vannet som kommer inn er [tex](1/20pi*(4-0.2t)^2)m^3/sek, t ∈ 0,20[/tex]. Hvor fort øker høyden på vannet i sylinderen?

[Janhaa]

Og er det ikke h'(V) jeg vil finne (farten på høyden i sylinderen)?

dH/dt er jo kjent

Er det ikke det jeg har gjort i førsteposten?
[tex]h'(t)=0.2[/tex][tex]h(t)=4-0.2t[/tex][tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]Så satt jeg h(t) inn i V(h) og fikk
[tex]V(h(t))=1/3pi*(4-0.2t)^3/4[/tex]Det totale volumet av vann er [tex]16pi/3[/tex].

det er noe som ikke helt stemmer med formel'n din, V(h).

[tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]
det 4-tallet, er ikke det: height of the water in the tank is 4 metres, ?
altså det er jo h=4...
===
[tex]h'(t)=0.2[/tex]
[tex]h(t)=4-0.2t[/tex]
[tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]

dh/dt er jo ukjent, men h=4...

synd det ikke er fasit, håpløst på disse oppgavene...får håpe noen av matematikerne her ser på dette...

[marvango]

det er noe som ikke helt stemmer med formel'n din, V(h).

[tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]
det 4-tallet, er ikke det: height of the water in the tank is 4 metres, ?
altså det er jo h=4...

Ble småsur på deg fordi du ikke svarte meg på det jeg lurte på, men så legger jeg ut masse surr uten å forklare hvordan jeg kom dit
Volumet av en kjegle=[tex]1/3pi*r^2*h[/tex]
r i vår kjegle: [tex]h/2[/tex]
Volumet i vår kjegle er altså: [tex]1/3pi*(h/2)^2*h=1/3pi*(h^3/4)[/tex]

[tex]h'(t)=0.2[/tex]
[tex]h(t)=4-0.2t[/tex]
[tex]V(h)=1/3pi*h^3/4[/tex]

dh/dt er jo ukjent, men h=4...

synd det ikke er fasit, håpløst på disse oppgavene...får håpe noen av matemetikerne her ser på dette...

Med h'(t) mener jeg raten h forandrer seg i kjeglen. Den er jo kjent (0.2)?
Fikk forresten [tex]h'(t)=1/320(4-0.2t)^2[/tex] i sylinderen. Synes det ser riktig ut på grafen. h'(20)=0

Hadde det letteste igjen, dumme meg Omgjøre formel for volum av sylinder til h=v/16pi og sette volumformelen min inn der. Så deriverte jeg og fikk vekstfarten pr tid.

Men det er nok ikke sånn det var meningen at jeg skulle regne den...

[marvango]

Ingen smartinger som kan hjelpe/dobbeltsjekke?

[mikki155]

Jeg fikk også at [tex]\frac {dV}{dh} = 4 \pi[/tex] og at [tex]\frac {dV}{dt} = -0.8 \pi[/tex] (volumet av vannet synker jo, derfor negativt fortegn), slik Jan fikk. Men vi skulle jo finne raten [tex]H[/tex] stiger med i sylinderen.
Satt bare opp differensiallikning som Jan:

[tex]\frac {dV}{dt} = \frac {3 \cdot h^2 \pi}{12} \cdot \frac {dh}{dt}[/tex], og satt inn [tex]h = 4[/tex]m (husk at det er endringen av volumet for vannet vi vil finne).
Jeg er enig i at Jan ikke så helt hva du gjorde, for du gjorde jo riktig når du skulle finne radius uttrykt ved høyden.

Men nå vet vi jo at endingen i volum i kjeglen er lik endringen i volum for sylinderen, og det gir diff. likningen:

[tex]\frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dH} \cdot \frac {dH}{dt}[/tex]

For å unngå forvirring satt jeg høyden i sylinderen lik [tex]H[/tex]. Riktignok som du gjorde, fant du [tex]\frac {dV}{dH} = 16 \pi[/tex]. Da er det bare å sette inn verdier i uttrykket, og regne ut:

[tex]\frac {dH}{dt} = \frac {0.8 \pi}{16 \pi} = 0.05[/tex] (positivt fortegn, siden vannet stiger)

Altså forandrer høyden i sylinderen seg [tex]0.05 m/s[/tex].

[marvango]

Jeg fikk også at [tex]\frac {dV}{dh} = 4 \pi[/tex] og at [tex]\frac {dV}{dt} = -0.8 \pi[/tex] (volumet av vannet synker jo, derfor negativt fortegn), slik Jan fikk. Men vi skulle jo finne raten [tex]H[/tex] stiger med i sylinderen.
Satt bare opp differensiallikning som Jan:

[tex]\frac {dV}{dt} = \frac {3 \cdot h^2 \pi}{12} \cdot \frac {dh}{dt}[/tex], og satt inn [tex]h = 4[/tex]m (husk at det er endringen av volumet for vannet vi vil finne).
Jeg er enig i at Jan ikke så helt hva du gjorde, for du gjorde jo riktig når du skulle finne radius uttrykt ved høyden.

Men nå vet vi jo at endingen i volum i kjeglen er lik endringen i volum for sylinderen, og det gir diff. likningen:

[tex]\frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dH} \cdot \frac {dH}{dt}[/tex]

For å unngå forvirring satt jeg høyden i sylinderen lik [tex]H[/tex]. Riktignok som du gjorde, fant du [tex]\frac {dV}{dH} = 16 \pi[/tex]. Da er det bare å sette inn verdier i uttrykket, og regne ut:

[tex]\frac {dH}{dt} = \frac {0.8 \pi}{16 \pi} = 0.05[/tex] (positivt fortegn, siden vannet stiger)

Altså forandrer høyden i sylinderen seg [tex]0.05 m/s[/tex].

Det kan ikke stemme for annet enn ved t[tex]_0[/tex].

For hvis høyden i en kjegle forandrer seg konstant, så vil volumet som renner ut bli mindre hvert sekund.

[mikki155]

Selvfølgelig, det er jo derfor man dervierer (lar dt -> 0)...