Det er flere måter å se dette på. Oppgaven går ut på å vise at hvis vektorene u,v og w ligger i samme plan så må [tex]u\cdot (v\times w)=0[/tex].
Dette er en bevisoppgave, så det vi ønsker er å lage en argumentkjede fra antagelsen (u,v,w ligger i samme plan) slik at vi kan konkludere med det vi
ønsker å vise.
I forklaringene dine antar du at det du skal vise er sant og argumenterer for at antagelsen er sann. Du går altså i feil retning!
Tankegangen du viser i forklaringene dine er gode, men du må vri litt på dette for å få fram det oppgaven faktisk spør om.
Så for å konstruere dette beviset starter vi med å se hva vi kan få ut av antagelsen. Det vi vet er at vektorene
u,v og w ligger i samme plan.
Hvis v og w er parallelle så er kryssproduktet 0 og vi er ferdige. Så vi antar at v og w ikke er parallelle. Da kan enhver vektor i planet
skrives som [tex]s\vec{v}+t\vec{w}[/tex] for noen reelle tall s og t. Dette følger fra at et plan kan parameteriseres på denne måten
for to ikke parallelle vektorer i planet (hvis du ikke har lært dette, er det en annen måte å gå fram på lenger nede).
Dermed siden u ligger i det samme planet finnes tall s og t slik at [tex]u=s\vec{v}+t\vec{w}[/tex].
Kryssproduktet mellom v og w danner en vektor som står normalt på både v og w. Så dermed har vi at
[tex]\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=(s\vec{v}+t\vec{w})\cdot(\vec{v}\times \vec{w})=s\vec{v}\cdot(\vec{v}\times \vec{w})+t\vec{w}\cdot(\vec{v}\times \vec{w})=0+0=0[/tex]
Hvilket var nettopp det vi ville vise.
Dette kan nok virke ganske komplisert i starten, men tankegangen i beviser blir lettere å forstå ettersom man arbeider mer med det!
Her er en annen måte å gå fram på. Her går jeg ikke gjennom hele beviset men gir heller noen ideer så kan du utarbeide argumentet.
Geometrisk så er størrelsen vi er ute etter å finne, [tex]u\cdot (v\times w)=0[/tex], volumet til parallellpipedet utspent av u,v og w.
Hvis u,v og w ligger i samme plan hva kan du si om dette volumet?
Si fra hvis noe er uklart!
