Ikke godkjent oblig

[fomlen]

Hei, fikk ikke godkjent en oblig i lineær algebra og skal levere den på nytt snart. Kunne derfor trengt litt hjelp. Hvis første oppg løses vil resten gå greiere.
Sliter litt med at A skal avbilde L på H. Vil det si at : T(L) = A*L = H ?
Og kan L skrives som L = (a1*e1 + a2*e2 +....+ak*ek) = (a1, a2, ..., ak)?
I så fall funker jo ikke multiplikasjonen A*L ..

[Gustav]

Mener jeg har besvart denne en gang tidligere.

H vil ha en basis som vi kaller $\{f_i\}_{i=1,2,3...,k}$.

Da er $\{e_i\}$ og $\{f_i\}$ lineært uavhengige vektorer i $R^n$. (Siden de begge er basiser for underrom.

Vi har nå et teorem som sier at man kan utvide $\{e_i\}$ og $\{f_i\}$ til basiser for hele $R^n$.

La T være en lineær transformasjon definert ved at $T(e_i)=f_i$ for i=1,2,...,n.

Vis at T dermed vil avbilde L på H, og at T er injektiv og surjektiv (og dermed invertibel).

[fomlen]

Ok, men hvor kommer matrisen inn i bildet?

[Gustav]

En lineær avbildning mellom endeligdimensjonale rom kan alltid representeres ved en matrise. Det eneste du skal vise i oppgaven er at det eksisterer en slik matrise som er invertibel, og det vil den da være når T er invertibel slik den er definert.

[fomlen]

Takker for svar. Kunne vært fint med litt hjelp med denne også.

[anusansikt]

Takk for hjelp!

[Gustav]

Begynn med å la $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ være en basis for $H$, og utvid denne til en basis for V.
La $\{e_1,e_2,...,e_{n-k}\}$ være standardbasisen for $\mathbb{R}^{n-k}$.

EDIT:

Definér T slik at den avbilder alle basisvektorene i H over til 0, og alle de andre basisvektorene i V over til standardbasisen til $\mathbb{R}^{n-k}$