Grenseverdi

[gurgin]

Hei jeg lurer på om jeg har gjort riktig bestem grenseverdiene:


lim x->0 3^x-e^x/ π^x-cos2x

jeg vil si at dette er et 0/0 uttrykk og at vi kan bruke L'Hopitals regel

Og dermedd fikk jeg:

ln3*3^x-e^x/lnπ*π^x+2sin2x

Er usikker på hvordan jeg går videre.. skal jeg derivere en gang til eller?

[Vektormannen]

Hva skjer om du lar x gå mot 0 i det nye uttrykket da?

[gurgin]

Er usikker, men kan man skrive det slik:

1+ln3/2 ?

[Vektormannen]

Ikke helt, nei. I telleren blir det jo et negativt fortegn på 1, siden det er [tex]-e^x[/tex]. Telleren blir altså [tex]\ln 3 - 1[/tex]. I nevneren får vi $\ln \pi$, siden $2 \sin 2x$ går mot 0. Altså blir grenseverdien $\frac{\ln 3 - 1}{\ln \pi}$. Er du med på det?

[gurgin]

Oki, skulle stå -1+ln3 i telleren, men skal ikke lnπ multipliseres med 2sin2x. Hvorfor blir ikke det null?

Lurere også på hvordan det blir hvis vi skal sette inn lim x-> uendelig. Kan det stemme at vi får 0/1 altså det blir 0?

Takk for svar

[TTT]

Oki, skulle stå -1+ln3 i telleren, men skal ikke lnπ multipliseres med 2sin2x. Hvorfor blir ikke det null?

Lurere også på hvordan det blir hvis vi skal sette inn lim x-> uendelig. Kan det stemme at vi får 0/1 altså det blir 0?

Takk for svar

[tex]ln(\pi)[/tex] skal ikke multipliseres med [tex]2sin(2x)[/tex]. L'hopitals regel sier at bare at du derivere uttrykkene [tex]f(x) = 3^x - e^x[/tex] og [tex]g(x) = \pi^x -cos(2x)[/tex] hver for seg:

[tex]\frac {d}{dx}(3^x -e^x) = 3^xln(3) -e^x[/tex]

og

[tex]\frac {d}{dx}(\pi^x -cos(2x)) = \pi^xln(\pi) + 2sin(2x)[/tex]

Ved å sette inn x= 0 får man:

[tex]\frac {f'(0)}{g'(0)} = \frac {3^0ln(3) -e^0}{\pi^0ln(\pi) + 2sin(2*0)} = \frac {1ln(3) -1}{1ln(\pi) + 0} = \frac {ln(3) - 1}{ln(\pi)}[/tex] som da er grenseverdien

[gurgin]

Da skjønner jeg, trodde at π i nulte ble null, men det blir jo en.

Men hva om du skal finne grensen til det samme uttrykket når x går mot uendelig?

Stemmer det at vi får ((3/π)^x -(e/π)^2)/(1(cos2x)/π^x) som blir 0/1, altså 0?

[TTT]

Da skjønner jeg, trodde at π i nulte ble null, men det blir jo en.

Men hva om du skal finne grensen til det samme uttrykket når x går mot uendelig?

Stemmer det at vi får ((3/π)^x -(e/π)^2)/(1(cos2x)/π^x) som blir 0/1, altså 0?

Litt lenge siden jeg har hatt om grenser, men tror dette skal være korrekt:

Det stemmer at uttrykket skal bli [tex]\frac {(\frac{3}{\pi})^x-(\frac{e}{\pi})^x}{1-\frac{cos2x}{\pi^x}}[/tex]

Siden både [tex](\frac{3}{\pi})^x[/tex] og [tex](\frac{e}{\pi})^x[/tex] går mot 0 når x går mot uendelig, vil telleren bli null. I tillegg vil [tex]\frac{cos2x}{\pi^x}[/tex] også gå mot 0, slik at du sitter igjen med 0/1 = 0.