Int sin/cos

[mikki155]

Stemmer det at en kan splitte opp følgende integral slik:

[tex]\int_{\sin\theta}^{\cos\theta}\frac{dx}{1-x^2} = \int_{0}^{\cos\theta}\frac{dx}{1-x^2} - \int_{0}^{\sin\theta}\frac{dx}{1-x^2}[/tex]

For så å bruke analysens fundamentalteorem?

[Vektormannen]

Det stemmer.

[mikki155]

Fett ^^ Så hvis jeg fortsetter, blir det vel:

[tex]f(\theta) = \frac {1}{sin^2 \theta} - \frac {1}{cos^2 \theta} = \frac {cos^2 \theta - sin^2 \theta}{sin^2 \theta \cdot cos^2 \theta} = \frac {cos(2\theta)}{sin^2 \theta \cdot cos^2 \theta}[/tex]

[Vektormannen]

Hvis $f(\theta)$ er definert som den deriverte av dette integralet så er du inne på riktig tankegang, men du må huske på kjerneregelen her. Analysens fundamentalteorem sier at $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$. Da gir kjerneregelen oss at $\frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) dt = \frac{d}{dx} f(g(x)) \cdot g^\prime(x)$, ikke sant?

[mikki155]

I knowz, men jeg mente ikke å finne den deriverte akkurat her. Tenkte på den store [tex]F(\theta)[/tex], om det gir mening. Men som du sier, ville vel den deriverte blitt:

[tex]\frac {d}{d\theta} \int_{0}^{\cos\theta}\frac{dx}{1-x^2} - \frac{d}{d\theta}\int_{0}^{\sin\theta}\frac{dx}{1-x^2} = -\frac {sin\theta}{1-cos^2 \theta} - \frac {cos\theta}{1-sin^2 \theta}[/tex]

[Vektormannen]

Analysens fundamentalteorem gir deg den deriverte av integralet, så hvis det er integralet i seg selv du skal finne så hjelper det ikke så mye å bruke det. Integralet lar seg imidlertid løse vha. delbrøksoppspaltning.

[mikki155]

Ok, da henger jeg mer med ^^