Uendelige rekker

[Matt-ulf]

Hei!
Jeg sliter litt med denne oppgaven:
"finn et uttrykk for delsummen av de første "n" leddene til den gitte uendelige rekken:
[tex]\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot5} +\cdot \cdot \cdot[/tex]

Vet ikke helt hvilken regel jeg skal bruke. Har regnet at k = 0,375. men det er så langt jeg kommer.

Takker for all hjelp

[Kork]

Denne var vanskelig gitt

[Brahmagupta]

Trikset er å dele opp hver brøk i en differanse mellom to brøker. Har du vært borte i delbrøkoppspalting?

Eksempelvis kan det første leddet skrives.
[tex]\frac1{1\cdot3}=\frac12(\frac11-\frac13)[/tex]

Finn en måte å skrive det m'te leddet slik at [tex]\frac1{m(m+2)}=\frac{A}{m}-\frac{B}{m+2}[/tex] Hvor [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er konstanter.
Sett så opp summen for de n første ledd og bruk denne omskrivningen, da burde det være mulig å regne deg frem til summen på lukket form.

En eventuell fremgangsmåte er å regne ut de noen av de første delsummene, prøv å finne et mønster. Hvis du klarer det bevis formelen ved induksjon!

[Janhaa]

Trikset er å dele opp hver brøk i en differanse mellom to brøker. Har du vært borte i delbrøkoppspalting?
Eksempelvis kan det første leddet skrives.
[tex]\frac1{1\cdot3}=\frac12(\frac11-\frac13)[/tex]
Finn en måte å skrive det m'te leddet slik at [tex]\frac1{m(m+2)}=\frac{A}{m}-\frac{B}{m+2}[/tex] Hvor [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er konstanter.
Sett så opp summen for de n første ledd og bruk denne omskrivningen, da burde det være mulig å regne deg frem til summen på lukket form.
En eventuell fremgangsmåte er å regne ut de noen av de første delsummene, prøv å finne et mønster. Hvis du klarer det bevis formelen ved induksjon!

Egyptian Fractions
?

[Heihei]

Hei!
Jeg sliter litt med denne oppgaven:
"finn et uttrykk for delsummen av de første "n" leddene til den gitte uendelige rekken:
[tex]\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot5} +\cdot \cdot \cdot[/tex]

Vet ikke helt hvilken regel jeg skal bruke. Har regnet at k = 0,375. men det er så langt jeg kommer.

Takker for all hjelp

Du ser her at nevneren øker for hvert ledd. det første leddet er a1: 1/1*3, andre a2: 1/2*4, osv... Her ser man at i nevneren ganges det n-te leddet med (n+2).
Man kan da utlede formelen for det an-te leddet an = 1/n*(n+2). Vi kan også merke oss at når n går mot uendelig, så går uttrykket mot 0(fordi når nevneren blir veeeeldig stor, så går uttrykket mot 0). Den kovergerer, altså går mot en bestemt verdi når n går mot uendelig.

Se på det over, og tenkt hva som skjer når du adderer sammen hvert av leddene(brøkene), når du skal finne en delsum av rekken. Du kan eventuelt bruke delbrøksoppspaltning.

[Vektormannen]

Vi kan også merke oss at når n går mot uendelig, så går uttrykket mot 0(fordi når nevneren blir veeeeldig stor, så går uttrykket mot 0). Den kovergerer, altså går mot en bestemt verdi når n går mot uendelig.

At leddene etter hvert går mot 0 er ikke grunnlag for å si at rekken konvergerer. Det enkleste eksempelet her er [tex]\sum_{i = 1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] som faktisk divergerer.

[Markussen]

Jeg slenger meg på med et spørsmål her selv.

En uendelig rekke med sirkler har diameterne 16, 8, 4 osv.
Diameteren i hver sirkel er halvparten av diameteren i den foregående.
Finn summen av arealene av alle sirklene.

Jeg får følgende; [tex]s=\frac{64\pi}{1-0,5}[/tex] . Hva gjør jeg feil?

[Janhaa]

Jeg slenger meg på med et spørsmål her selv.
En uendelig rekke med sirkler har diameterne 16, 8, 4 osv.
Diameteren i hver sirkel er halvparten av diameteren i den foregående.
Finn summen av arealene av alle sirklene.
Jeg får følgende; [tex]s=\frac{64\pi}{1-0,5}[/tex] . Hva gjør jeg feil?

husk det er areal

[tex]s=\frac{64\pi}{1-0,5^2}[/tex]

[Markussen]

Hvorfor skal 0,5 opphøyes i 2. ?

[Janhaa]

Hvorfor skal 0,5 opphøyes i 2. ?

areal...
[tex]A = \pi*(d/2)^2[/tex]

[tex](d/2)^2/d^2=0,25[/tex]

[Markussen]

Åja. Trodde kun [tex]a_1[/tex] skulle gjøres om til et areal, jeg.