Integral

[Markussen]

[tex]\int 5x*e^{2x}[/tex], hvordan kan jeg løse denne?

Jeg trodde det ble = [tex]5x*\frac{1}{2}*e^{2x}+C[/tex], men fasiten sier; [tex]\frac{5}{2}*x*e^{2x}-\frac{5}{4}*e^{2x}+C[/tex]

Hvor kommer det siste leddet fra?

[Aleks855]

Delvis. 5'ern "blir bare med", men det gjelder ikke også x'en.

[Nebuchadnezzar]

Prøv og deriver svaret ditt og se hva du får. Da ser du at du får to ledd, mens i fasiten så vil det bakerste leddet kverke dette.
En metode jeg foretrekker bedre er å starte med funksjonen
$ \hspace{1cm}
f(x) = p(x) e^x
$
Hvor $p(x)$ er et vilkårlig polynom. Derivasjon med produktregelen gir da
$ \hspace{1cm}
f'(x) = p'(x) e^{x} + p(x) e^x = [p(x) + p'(x)] e^x = g(x) e^x
$
Hvor $p(x)$ og $g(x)$ er to polynomer med samme grad. Integrasjon gir dermed at
$ \hspace{1cm}
\int g(x) e^x \mathrm{d}x = \int f'(x) \mathrm{d}x = p(x) e^x + C
$
Konklusjonen er altså at om du integrerer et polynom ganget med en eksponensialfunksjon
vil du alltid ende opp med et polynom av samme grad, ganget med eksponensialfunksjonen.
Om du har $e^{ax +b}$ i stedet for $x$ vil ikke dette forandre noenting heller.

[Markussen]

Nå henger jeg ikke helt med. Kan dere forklare meg litt mer i dybden om hva som skjer?

[Nebuchadnezzar]

Regner med du bare glemmer å bruke produktregelen =)

Kan bruke din funksjon som eksempel.
$ \hspace{1cm}
\int 5x \cdot e^{2x} \mathrm{d}x
$
Polynomet ditt er av første grad. Så vi "tipper" at
$ \hspace{1cm}
\int 5x \cdot e^{2x} \mathrm{d}x = (ax + b) e^{2x} + C
$
Hvor $a$ og $b$ er to ukjente tall. Dette er det mest generelle polynomet av første grad,
og vi tipper at løsningen er på denne formen siden polynomet på høyre side er av samme grad.
Det eneste en trenger å gjøre nå er å $a$ og $b$! Deriverer vi begge sider av likningen fås
$ \hspace{1cm}
(5x + 0) \cdot e^{2x} = (2ax+a+2b) \cdot e^{2x}
$
Ved å sammenlikne høyre side og venstre side så må
$ \hspace{1cm}
2ax = 5x$ og $a + 2b = 0$. Så $a=5/2$ og $b=-5/4
$.
Siden alle leddene som inneholder $x$ må være like, og alle leddene som er konstante må være like.
Ved å sette inn kan du se at dette er nøyaktig det samme som står i fasit.
Dette er og en mye enklere måte dersom polynomet ditt er av en mye høyere grad, eksempelvis
$ \hspace{1cm}
\int (x^9 + x^5 + 3x) e^{2x} \mathrm{d}x
$
Da må en bruke delvis integrasjon til den store gullmedalje for å bli ferdig. Metoden med derivasjon
krever bare en (om noe lang) operasjon =) Anbefaler deg å lese mer om produktregelen, og delvis
integrasjon. Virker som det er noe du glemmer.

[Markussen]

Beklager, men henger overhode ikke med på resonnementet . La oss si du ikke kunne "tippet" på hva som skulle skje. Hvordan hadde du da kommet frem til svaret?

[Nebuchadnezzar]

http://www.youtube.com/watch?v=dqaDSlYdRcs
http://www.youtube.com/watch?v=ouYZiIh8Ctc
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Parts.aspx
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

[Markussen]

Takk for den øverste filmen! Løsnet litt nå.

[Markussen]

[tex]\int (3x^2+3cos3x)dx[/tex]

Hvordan integrerer jeg det siste leddet?

[Nebuchadnezzar]

Hva er den deriverte av $\sin 3x$ ?
Alternativt kan du prøve substitusjon med $3x = u$, men det
er litt som å skyte spurv med kanon-

[Markussen]

Det jo [tex]3cos3x[/tex] , men la oss si det hadde stått [tex]7cos5x[/tex], hvordan hadde man løst den da?

[Nebuchadnezzar]

Hva er den deriverte av $
\sin(5x)
$? Hva mangler? Hva får du når du deriverer
$
\sin(ax)/a
$ ?

[Markussen]

Jeg tror det er her jeg stopper litt opp. Kan jeg skrive det som 5cos(5x), hvis ja, hvorfor?

[Nebuchadnezzar]

Lær deg derivasjon skikkelig før du begynner å surre med integrasjon.
Integrasjon er bare derivasjon "baklengs" og det krever litt mer tanke og
litt mindre "jeg bare dytter tall inn i denne formelen og får ut et svar"

http://patrickjmt.com/trigonometric-int ... rt-1-of-6/

Lær deg kjerneregelen skikkelig =) Det er ikke for å være stygg men
det er alfa omega og kunne disse tingene forlengs og baklengs til eksamen
Eksempel: Ønsker å finne
$ \hspace{1cm}
\int 7 \cos(5x) \mathrm{d}x
$
Ser at om jeg deriverer $\sin(5x)/5$ så får jeg
$ \hspace{1cm}
( \sin( 5x ) / 5 )' = 5 \cdot [\cos(5x)/5] = \cos(5x)
$
Interesant! Så
$ \hspace{1cm}
\int 7 \cos(5x) \mathrm{d}x = 7 \int \cos(5x) \mathrm{d}x
= 7 \cdot \frac{\sin 5x}{5} + C
$
Så siden $( \sin(ax)/a )' = \cos ax$ så er
$ \hspace{1cm}
\int \cos ax \, \mathrm{d}x = \frac1a \sin{ax}
$
En rekke av disse integralene burde stå i formelboken din.

[Markussen]

Greit. Ja, tror egentlig det jeg også! Takk for svar