Hei, her ser dere et bevis på at det ortogonale komplementet til det ortogonale komplementet til et vektorrom er vektorrommet selv.
Først viser han at ortogonal(ortogonal(V)) er innehold i V, så viser han at V er innehold i ortogonal(ortogonal(V)), han viser den andre veien på 7:50.
Men jeg lurer på om den siste veien er unødvendig, altså at man kan si det direkte av definisjonen.
http://www.khanacademy.org/math/linear- ... complement
Altså hvis:
x er i V
så er x ortogonal til ortogonal(V)
men da må x være i ortgonal(ortogonal(v)) for disse vektorene består av alle vektorene som er ortogonal til ortogonal(V)
Holder dette for å vise den andre inklusjonen?
Jeg regner med at dette under er feil, men jeg må spørre, blir det feil å vise den første inklusjonen slik:
x er i ortogonal(ortogonal(V))
x er da ortogonal til ortogonal(V)
x er dermed i V
spørsmål om bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du er nødt til å bevise begge veier, ja. Den ene veien er lett og følger direkte av definisjonen $(V^\perp)^\perp = \{w : <w,u>=0 \, \forall u\in V^\perp\}$. Dersom $v\in V$ er $<u,v>=0\, \forall u\in V^\perp$, altså er $v\in (V^\perp)^\perp$.
Den andre veien er litt annerledes (Generelt må man betrakte V som et lukket, lineært underrom av et Hilbertrom H. Da er $H=V\oplus V^\perp $. ): La $w\in (V^\perp)^\perp$. Da fins det unike elementer $x\in V$ og $y\in V^\perp$, slik at $w=x+y$, men da er $0=<w,y> = <x+y,y>=<x,y>+<y,y>=<y,y>$. Fra definisjonen av normen må $y=0$, altså er $w=x\in V$.
Den andre veien er litt annerledes (Generelt må man betrakte V som et lukket, lineært underrom av et Hilbertrom H. Da er $H=V\oplus V^\perp $. ): La $w\in (V^\perp)^\perp$. Da fins det unike elementer $x\in V$ og $y\in V^\perp$, slik at $w=x+y$, men da er $0=<w,y> = <x+y,y>=<x,y>+<y,y>=<y,y>$. Fra definisjonen av normen må $y=0$, altså er $w=x\in V$.