Integral/algebra

[Urosmooth]

Hvordan blir $ \int \frac{x^2}{1+x^2} = \int (1- \frac{1}{1+x^2})$ Hva slags algebra er det som foregår her?

[Aleks855]

Delbrøkoppspalting. (Eng: Partial fraction expansion.)

[Urosmooth]

Delbrøkoppspalting. (Eng: Partial fraction expansion.)

huh?

Kan sikkert løse den oppgaven med delbrøkoppspalting, men hvis man taster $ \frac{x^2}{1+x^2}$ inn i wolframalpha får man at $ \frac{x^2}{1+x^2}= 1- \frac{1}{1+x^2} $ og dette er jo et superenkelt integral å løse.

[Aleks855]

Delbrøkoppspalting er ikke bare noe man bruker ved integraler. Det er noe man bruker for å dele opp en brøk i flere. Og det kan brukes til å gjøre nettopp det du spør om. Og det er sannsynligvis slik Wolfram også produserer den nye skrivemåten.

Det brukes ofte nettopp i integral-oppgaver fordi flere små brøker er lettere å integrere enn en stor, og det er ofte først under integralregning at man lærer om det. Derfor er det lett å tenke at det kun er noe man bruker ved integrasjon.

[Vektormannen]

Delbrøkoppspalting? Det som skjer her kan man enten gjøre ved polynomdivisjon, eller ved å observere at $\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$. Delbrøkoppspalting brukes for å skrive en brøk som en sum av brøker med lavere grad i nevnerne (som regel førstegradspolynomer eller irredusible andregradspolynomer). Her er ikke nevneren faktoriserbar, så delbrøkoppspalting har lite for seg.

[Aleks855]

Jeg som blingsa der. En stund siden jeg har spalta brøker, så jeg glemte kriteriet.