Diofantisk likning

[Hoksalon]

Finn alle heltallige løsninger av

$x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4=15999$

[Ice]

Litt prøv og feil, men ser da ut til at jeg fant en løsning til slutt.

Vi legger merke til at $15999\equiv -1\equiv 15(\text{mod}16)$

Så regner vi ut alle fjerdepotenser (mod 16), og finner ut at alle disse er enten 0 eller 1 modulo 16, altså er $x_i\equiv 0,1(\text{mod}16)\mathrm{\forall }i$

men siden vi bare har 14 ledd i summen vår, må vi ha $0\le \sum _i^{14}{x}_i^4\le 14(\text{mod}16)$
Så ligningen har ingen heltallsløsninger.

[Gustav]

Fin løsning. Gjorde den på samme måte.

[Hoksalon]

Riktig ja. Det kan nevnes at oppgaven er fra USAMO.