Kompleks ulikhet

[mikki155]

Skal løse [tex]|z-3+4i| \le 5[/tex], men her sitter jeg ganske fast. Har ikke fått med meg akkurat det på noen av forelesningsvideoene jeg så, og det står heller ikke mye smart om det i boka. Noen som har noen tips?

[Nebuchadnezzar]

Tja jeg ville først tegnet ulikheten, alternativt kan du kvadrere ulikheten slik at
$$
z^2 + (4i-3)^2 \leq 5^2
$$
Forså å dele opp i den reelle og imaginære delen.

Om du visualiserer problemet sier ulikheten din, at du ønsker
å finne alle punkter $z$ slik at avstanden mellom $z$ og punktet
$4i + 3$ skal være mindre eller lik 5.

Da ser du kanskje at ulikheten i praksis beskriver ei kule med sentrum i
(-3+4i) og radius 5

[Vektormannen]

Er du enig i at løsningsmengden til ulikheten [tex]|\vec{v} - \vec{v_0}| \leq 5[/tex] er alle vektorer [tex]\vec{v}[/tex] som er innafor disken med senter i [tex]\vec{v_0}[/tex] og radius 5? (Tenk på det du lærte om sirkelligniner på VGS). Kan du tolke denne komplekse ulikheten på et lignende vis? (Hint: La [tex]z_0 = 3 - 4i[/tex])

edit, Nebu: Jeg tror ikke den omskrivinga gir så mye mening, da de komplekse tallene ikke er ordnede?

[mikki155]

Tror jeg skjønte det nå, for disken vil ha sentrum i [tex]z_0 = 3-4i[/tex], og siden [tex]z - z_0 \le 5[/tex], betyr det at [tex]z[/tex] må ligge fra sentrum og ut til sirkelbuen. Jeg slenger inn en oppgave til :

[tex]z^5 + a^5 = 0[/tex]

Her har jeg satt at [tex]r =| a|[/tex], siden [tex]|-a^5|^{1/5} = a[/tex], og [tex]arg(-a^5) = \pi[/tex], siden det var oppgitt at [tex]a[/tex] var et reelt tall. Riktig så langt?

Videre får jeg:

[tex]5 \theta = \pi + 2\pi n[/tex]

[tex]\theta = \frac{\pi + 2\pi n}{5}, n \in 0, 1, 2, 3, 4[/tex]

Som betyr at alle løsningene kan skrives:

[tex]z_n = a(cos \frac{\pi + 2\pi n}{5} + isin \frac{\pi + 2\pi n}{5} ), n \in 0, 1, 2, 3, 4[/tex]

Riktig?

[Vektormannen]

Ja, dette ser riktig ut hvis du tar r = |a| istedet for r = a. Hvis ikke vil negativ a føre til at fortegnet blir galt.

[mikki155]

Takk

[Gustav]

..., og siden [tex]z - z_0 \le 5[/tex], betyr det at [tex]z[/tex] må ligge fra sentrum og ut til sirkelbuen.

Merk at utsagnet [tex]z - z_0 \le 5[/tex] ikke gir noen mening når vi jobber i $\mathbb{C}$, siden denne mengden ikke er totalt ordnet( i motsetning til [tex]\mathbb{R}[/tex]).

http://en.wikipedia.org/wiki/Total_order

EDIT: Det er meningsfullt å skrive $|z-z_0|\le 5$