Komplekse funksjoner

[Hmmm]

The z-plane region D consists of the complex numbers z = x + yi hat satisfy the given conditions. Describe (or sketch) the image R of D in the w-plane under the given function w = f(z).

arg(z) = -Pi/3
w = sqrt(z)

Jeg har prøvd å forstå hva jeg skal gjøre, men komplekse tall er helt nytt for meg, og det står ikke forklart med noen eksempler, så jeg er litt fortapt...

[Gustav]

Spørsmålet er hva som skjer med komplekse tall når man tar kvadratrota av dem. Lar du z være representert på formen $z=re^{\theta i+2\pi n i}$ for $n\in \mathbb{Z}$, ser vi at $z^{\frac12} = \sqrt{r}e^{\frac{\theta }{2}i+\pi n i}$. Altså vil absoluttverdien endres ved at man tar kvadratrota av den, og argumentet vil halveres, samtidig som man får ekstra løsninger fra faktoren $e^{\pi n i}$ (som svarer til 90-graders rotasjoner i det komplekse plan. Avbildningen $z \to z^{\frac12}$ er altså en multifunksjon med flere verdier for hver z vi putter inn.

$Arg\, z = -\frac{\pi}{3}$ svarer til en stråle fra origo radielt ut i planet, med positiv vinkel $2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$. Altså komplekse tall på formen $z=re^{\frac{5\pi}{3}i+2\pi n i}$. Hva skjer med disse tallene når man opphøyer i $\frac12$?

[Hmmm]

Aha, vinklene halvveres, og vinkelen i det nye planet blir -Pi/6(?) takk for hjelpen, tror jeg skjønte litt mer nå!