Bevis for separable difflikninger uten Leibniz-notasjon

[Aleks855]

Sitter og pønsker på hvordan separable difflikninger kan løses uten å betrakte dy/dx som en brøk.

Har man en separabel difflikning på formen $N(y) \cdot y' = M(x)$ og integrerer begge sider mhp. samme variabel, så får man $\int N(y)y' dx = \int N(x)dx$

Høyre side her er helt ok, men vanlig praksis fra lærebøkene er å integrere venstre side mhp. y, og høyre side mhp. x fordi $y' = \frac{dy}{dx}$ og vi ganger med dx osv. Det er jo en fin måte å huske det på, men det virker ikke så veldig rigorøst.

Har prøvd å løse venstre side vha. delvis, men kommer ikke i mål. Vet ikke om jeg har slurva eller feilbetrakta noe. http://i.imgur.com/LzgcfBe.png

Noen tips?

[Gustav]

Kjerneregelen gir at $\frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y)y'(x)$.

Sett N(y)=f'(y), slik at f(y) er den antideriverte av N(y), og integrer mhp dx samtidig som du bruker fundamentalteoremet.

[Aleks855]

Takker! Burde ha gjenkjent det siden det er veldig sentralt å gjenkjenne det under implisitt derivasjon, men det er liksom ikke så ofte man får bruk for det (ennå).