Eksponentiell vekst

[Henriette1992]

Hei

Sliter litt med en oppgave som jeg lurer på om noen kloke hoder der ute kan hjelpe med med..

Oppgaven er som følge:

Etter at en kultur med bakterier fikk tilført en næringsoppløsning, er tallet på bakterier gitt ved :
Y= 1500 * 1,35^x
Der antallet timer etter at bakterienne fikk tilført næring.

a) Antall bakterier øker med en viss prosent pr time. Hvor stor er denne prosenten? (Regner med vi skal se på vekstfaktoren??)

b) Hvor mange bakterier er det om: 1) 6 timer 2) 2 døgn(svare på standarform)

c) Hvor mange bakterier var det for 3 timer siden?

d) Når vil antallet bakterier passere 1 000 000 ?

Håper noen kan hjelpe.

[Aleks855]

Antar tiden x er målt i timer, og at nåværende tidspunkt er x=0.

a) Ja, se på vekstfaktoren.

b) Sett inn x = 6 og regn ut. Sett inn x = 48 og regn ut.

c) Sett inn x=(-3) og regn ut.

d) Løs likninga $1500\cdot1.35^x = 1000000$

[henriette1992]

Tusen takk for svar, jeg skjønner b og c nå Men klarer ikke å finne vekstfaktoren på a og ligninger er ikke min sterkeste side... *føler seg dum*

[Henriette1992]

Men er svaret på B) så enkelt som 1500x1,35^6= 9080,167711... Og 1500x1,35^48= 2704656691 ???

[Realist1]

Tusen takk for svar, jeg skjønner b og c nå Men klarer ikke å finne vekstfaktoren på a og ligninger er ikke min sterkeste side... *føler seg dum*

Nøkkelen ligger i å forstå hvorfor ligningen din faktisk fungerer.

Hvis du setter inn 1000 kroner i banken, til 3% årlig rente. Hvordan regner du da ut hvor mye penger du har etter ett år?

I begynnelsen har du (bruker S for saldo):

$S_0 = 1000$

Så enkelt.
Men etter ett år har renten slått inn. Du vet jo at 3% kan skrives som 3/100, eller 0,03.
Når noe øker med 3%, må du huske at disse 3 prosentene kommer i tillegg til det du allerede har, altså 100% + 3%, eller 1 + 0,03, altså 1,03.

Dermed er saldoen etter ett år:
$S_1 = 1000 \cdot 1.03$

Hva med etter to år da? Da vil du jo ha den gamle saldoen, ganget med 1,03 en gang til. Altså:
$S_2 = 1000 \cdot 1.03 \cdot 1.03 = 1000 \cdot 1.03^2$
og videre for 3 år:
$S_3 = 1000 \cdot 1.03 \cdot 1.03 \cdot 1.03 = 1000 \cdot 1.03^3$

Ser du et mønster her?

Ligningen består altså av et fast ledd, i dette tilfellet 1000, som er det man startet med (eller mer rett, når den målte tiden er 0). Deretter har du et desimaltall som beskriver veksten, og en potens som beskriver hvor lenge det holder på.

Generelt:
$S_x = 1000 \cdot 1.03^x$ for et ukjent antall år $x$.

Så i din oppgave har du altså et fast ledd på 1500. Det betyr at bakteriekulturen var 1500 etter 0 timer.
Deretter har du et desimaltall 1,35, som da beskriver veksten. En vekstfaktor på 1,35 betyr en økning på 35%. Dette kan vises slik: Trekker du fra 1 (100%), som er det du har fra før, så sitter du igjen med 0,35. Altså har det økt med 35% av det du opprinnelig hadde.

Så svaret på a) er at bakteriekulturen økte med 35% per time.

b) og c) har du gjort helt riktig, forresten. Men du kan kutte ut alle desimalene. Enten er det en bakterie der, eller så er den ikke der. Hvis du bruker en formel for å anslå hvor mange elever det er i en klasse, for eksempel, og du får 24,84750294... til svar, så skriver du jo 25. Det kan jo ikke være 0,84750294 elever... Enten er han der, eller så er han ikke der. Men det er flisespikkeri! Det viktigste er at du klarte å putte inn 6 og 48 i formelen, og det fikk du til fint!

[Henriette1992]

Tuusen takk for at du tok deg tid til å skrive et så utfyllende svar slik at jeg ikke bare fikk svaret men faktisk skjønner oppgaven
Skal sette med ned igjen med det senere idag, men igjen takk