Differensiallikning

[Guest]

Hei, lurer på et spørsmål:
Vi har en ovn med innvendig temperatur 460 celsius. Vi setter en liten gjenstand med vanlig romtemperatur 20 celsius inn i ovnen. Vi regner at temperaturen T til gjenstanden hvert minutt øker proporsjonalt med differensen i temperatur til ovnen og gjenstanden. Vi regner tiden t i minutter.

oppgave: Etter ett minutt har temperaturen til gjenstanden økt til 40 celsius. Finn T(t) når T'=k(460-T)

svar: på fasiten står det 20=k(460-20)

problem: jeg skjønner at T' er 20, men hvorfor skrives fasiten T som 20, burde ikke T være 40? Altså at likningen burde være 20=k(460-40)
læreren skrives også på fasiten at T'(0)=20 og at T(0)=20 dette må vel være feil?

[Janhaa]

20 = 40 - 20

===

fasiten har vel rett. løses DE så fås:

[tex]\int\frac{dT}{460-T}=k\int dt[/tex]

[tex]-\ln|460-T|=kt + D[/tex]
så
[tex]T=460-C*exp(-kt)[/tex]
der
[tex]T(0)=20[/tex]
gir
[tex]C=440[/tex]
og
[tex]T'(0)=20[/tex]
gir
[tex]k=1/22[/tex]
samme som fasit:
DE:
[tex]T=460-440*exp(-t/22)[/tex]

[santalos5]

20 = 40 - 20

===

fasiten har vel rett. løses DE så fås:

[tex]\int\frac{dT}{460-T}=k\int dt[/tex]

[tex]-\ln|460-T|=kt + D[/tex]
så
[tex]T=460-C*exp(-kt)[/tex]
der
[tex]T(0)=20[/tex]
gir
[tex]C=440[/tex]
og
[tex]T'(0)=20[/tex]
gir
[tex]k=1/22[/tex]
samme som fasit:
DE:
[tex]T=460-440*exp(-t/22)[/tex]

Kan du forklare hvorfor det er 20 og ikke 40? Jeg tenker at T må være temperaturen for angitt tidspunkt, og siden tiden er 1min så må jo den ha blitt oppvarmet med 20 som den startet med + 20 etter 1min. Tenker jeg feil?