Utfording! Eksponentiell vekst

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
danielsen

Utfordring 1.29
Et lite datafirma økte omsetningen med 120% over seks år. Hvor mange prosent årlig økning svarer det til?
Det jeg lurer på er fremgangsmetoden, hvordan jeg går fram, hva slags formel jeg skal bruke, hva må jeg tenke på mens jeg gjør den osv?
Vanligvis har jeg brukt geogebra mens jeg har jobbet med oppgavene innenfor eksp.vekst. men denne oppgaven skjønner jeg ikke bære av!

Setter pris på alle svar! Takk!
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

danielsen wrote:
Utfordring 1.29
Et lite datafirma økte omsetningen med 120% over seks år. Hvor mange prosent årlig økning svarer det til?
Det jeg lurer på er fremgangsmetoden, hvordan jeg går fram, hva slags formel jeg skal bruke, hva må jeg tenke på mens jeg gjør den osv?
Vanligvis har jeg brukt geogebra mens jeg har jobbet med oppgavene innenfor eksp.vekst. men denne oppgaven skjønner jeg ikke bære av!

Setter pris på alle svar! Takk!
En økning med 120% tilsvarer en multiplikasjon med 2,2. Ser du hvorfor?

For å ta et tilsvarende eksempel... Hvis firmaet hadde hatt en omsetning på 1000, og økt den med 100% (dobbelt så mye) over tre år, hadde formelen sett slik ut:

$1000 \cdot x \cdot x \cdot x = 2000$ hvor $x$ er hele vekstfaktoren, alts $x = \left( 1 + \frac{p}{100}\right)$ der $p$ er årlig prosentøkning.

Flytter du omsetningen over på høyre side, får du forholdstallet 2 på høyre side og x*x*x på venstre side. Man trenger altså ikke vite hvor stor omsetningen var, verken før eller etter, så lenge du har forholdet mellom dem (i ditt tilfelle 120% opp, eller 2,2 ganger så stor).

Du vil da få ligningen $x^3 = 2$

Begynner det å gi mening?
skf95
Descartes
Descartes
Posts: 421
Joined: 17/12-2010 14:35

La oss si at produksjonen ved start er [tex]1[/tex] et eller annet. Etter 6 år er da produksjonen på [tex]1 \cdot 2,2=2,2[/tex]. Enig? (hadde den økt med 100%, ville den økt til det dobbelte, altså hadde du ganget med 2). Uten å se under, klarer du nå sette opp en likning, som nå du løser den for [tex]x[/tex] finner årlig prosentvis øking?


Svar:
[tex]1 \cdot x^{6} = 2,2[/tex]

(Marker det som står under "Svar" for å se likningen)

EDIT; kom meg i forkjøpet der, Realist1!
danielsen

Takk realist1 og sk95! Med deres hjelp løste jeg nettopp en oppgave jeg nesten ga opp :)

Kan dere bekrefte om jeg har skjønt det nå?
Hvis noe øker med 100% så betyr det dobbelt så mye, altså sluttverdi = 2? og 400% for eks. så er sluttverdi = 4?

Jeg sliter veldig mye med å se likheter og sammenhenger mellom tall og prosent, har dere noe tips for å bli bedre?
skf95
Descartes
Descartes
Posts: 421
Joined: 17/12-2010 14:35

Hvis noe øker med 400%, øker det med det du har ganger 4. Men så må du jo legge til det du hadde allerede ved start. Så når 1 øker med 400%, øker det til 5. Enig? :D

Når 1 øker med 400% kan du formelt skrive: $1+1 \cdot 400$%$ =1+1 \cdot 4=5$
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Det viktigste er å se hvordan det står formulert.

200% av 1000 er 2000.
Men:
200% mer enn 1000 er 3000.
200% økning fra 1000 er 3000.
Hvis 1000 øker med 200%, blir det 3000.

Du vet at 100% av noe er en hel. Verken mer eller mindre. 100% av 1000 er 1000.

Det kan være greit å pugge de vanligste forholdene slik at du får de inn i blodet.
200% er dobbelt så mye
100% er det samme som du hadde, verken mer eller mindre.
50% er halvparten
25% er en fjerdel
20% er en femtedel
10% er en tiendedel
75% er tre fjerdedeler
osv.

Greit å huske på at prosent jo bokstavelig talt betyr "per hundredel". Slik at 1% er 0,01. Og 100% er hundre hundredeler, altså 100*0,01, altså bare en hel.
200% er 200*0,01, altså 2.
400% er 400*0,01, altså 4.
50% er 50*0,01, altså 0,5.
osv.

Det vil si at 3% av 1000 kroner er 3*0,01 * 1000 = 0,03 * 1000 = 30

Hvis man tenker på 3% rente, så vil det da si at man får 30 kroner i rente i tillegg til de 1000 man har fra før, og får dermed 1030 totalt.
En mer kompakt måte å skrive dette på, er at det blir 3% i tillegg til de 100% han har fra før. Altså totalt 100%+3% = 103% = 103*0,01 = 1,03
For å finne summen direkte, kan du altså ta 1000 * 1,03 og få 1030.

Her er det også snakk om formulering.
Hvis spørsmålet er "Hvor mye får han i rente?" så er renten 3%, eller 0,03 ganger det opprinnelige, altså 30 kroner.
Hvis spørsmålet er "Hvor mye penger har han etter ett år?", så må du jo huske på de pengene han har fra før. Altså 3% rente i tillegg til de 100% han har fra før, altså 1,03*1000 = 1030 kroner.

Kort sagt, du finner prosentandelen av et tall ved å multiplisere med 0,01*prosent:
14% av 300 = 300 * 14*0,01 = 300 * 0,14 = 42

Hvis det er snakk om en økning, så legger du alltid til 100%, eller 1:
14% økning fra 300 = 300 * 114*0,01 = 300 * 1,14 = 342

Beste måten å bli bedre på, er å bare øve og øve! :)
Post Reply