Espenol wrote:
Holder nå på med Stokes teorem, og tenker igjen litt mer på curl. I stokes teorem har vi Curl F prikket med N-vektor. Dette kan en tenke seg er i xy-planet. Curl F gir oss en vektor som viser... rotasjon? Hvordan kan én vektor vise rotasjon? Er dette en vektor for bevegelsen til ytterpunkt for et infinitesimalt objekt, eller noe slikt?
Har sett noen khanacademy-videoer og forstår en del av intuisjonen, men hvorfor en prikker med normalvektor i Stokes teorem får jeg ikke til å sitte.
"Hvordan kan én vektor vise rotasjon?"
Dette er lettest å forstå hvis du tar for deg et vektorfelt i xy-planet, og bruker definisjonen på kryssproduktet $curl(F)=\nabla\times F$. Da får du et nytt vektorfelt som har en komponent i z-retning. Det curl(F) da symboliserer er rotasjon av vektorfeltet
om aksen til vektoren $curl(F)$ for hvert punkt (x,y), der konvensjonen er å bruke høyrehåndsregelen for å finne i hvilken retning feltet roterer: Dersom curl(F) peker i positiv z-retning, roterer feltet om aksen til curl(F)
mot klokka. Lengden på vektoren curl(F) sier noe om hvor "stor" rotasjonen er. På den måten vil vektorfeltet curl(F) kunne si både noe om retningen på rotasjonen, og graden av rotasjon i ethvert punkt (x,y). Dette kan man deretter generalisere til flere dimensjoner.
Årsaken til at man prikker curl(F) med normalvektoren til en flate, er at man da får et mål på "graden av rotasjon" parallelt med overflaten: man kan se for seg å dele opp rotasjonen i to komponenter på en overflate. En komponent normalt flata og en parallelt med flata. I Stokes' teorem er det den parallelle komponenten man er ute etter, så da må man finne komponenten av curl(F) som står normalt flata (siden rotasjon parallelt med flata er det samme som at vektoren curl(F) peker normalt på flata! ) Du må altså ta i betraktning av curl(F) alltid står normal på det planet vektorfeltet roterer i.
