Matriser, invers av invers

[Aleks855]

Prøver å vise at dersom $A$ har en invers $A^{-1}=B$, så er også $B^{-1}=A$

Det jeg har prøvd hittil er å bare starte med noe som er latterlig åpenbart, og jobbe meg inn i det som skal bevises, men det bare virker som en altfor enkel løsning.

$I=I$

Skriver $I$ som produkt av inverser på to forskjellige måter.

$B{B}^{-1}=BA$

Det er her jeg synes det blir litt sirkulært. $B{B}^{-1}=I$ og $BA=I$ per definisjon, men likevel...

Ganger med $B^{-1}$ fra venstre på begge sider og ender opp med at

$B^{-1}=A$

Som sagt, det virker litt sirkulært, uten at jeg helt klarer å se hvorfor.

Burde jeg også bevise at B i det hele tatt er inverterbar, gitt at den allerede er en invers matrise?

EDIT: Når det gjelder å vise at $A^{-1}$ er inverterbar, så holder det vel å påpeke at A må være injektiv og surjektiv for å være inverterbar, som betyr at dens invers nødvendigvis også må være det?

EDIT2: Løst! Som en idiot så tenkte jeg ikke på det mest åpenbare ^_^

[Vektormannen]

Nå vet jeg ikke hva du gjorde i EDIT2-måten din, men det blir kanskje en litt ullen måte å gjøre det på ja. Man må jo på en eller annen måte få brukt premisset i implikasjonen man skal vise, i ditt tilfelle at $A^{-1}=B$. Som regel starter man med premisset og jobber seg frem til konklusjonen (her at $B^{-1}=A$), men det går også an å ta utgangspunkt i noe som er sant og benytte premisset underveis. Her blir vel beviset noe sånt som at $A^{-1}=B\Rightarrow I=AB=BA\Rightarrow B^{-1}\text{eksisterer og}{B}^{-1}=A$. Første implikasjon kommer ved å gange med A på hver side, og andre implikasjon kommer fra definisjonen av invers og ved å gange med $A^{-1}$.

[Aleks855]

Ja, jeg sto fast med $A$ som utgangspunkt. At $AB=BA=I$ skal jo tolkes som at de er hverandres inverse, og ikke bare at B er den inverse av A. =/

Men jeg sitter med en ny en nå. Skal vise at $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$.

Det jeg tenker er å ta utgangspunkt i at $A{A}^{-1}=I$

Ganger venstre side med 1 i form av $k\frac{1}{k}$ der $k\ne 0$

Det gir $(k\frac{1}{k})(A{A}^{-1})=I$

Ved assosiativitet kan vi bryte opp parentesene og si at $(k\frac{1}{k})(A{A}^{-1})=(kA)(\frac{1}{k}{A}^{-1})=I$

Herfra ser vi at $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$

Holder dette?

[Gustav]

Du har vel strengt tatt kun vist det for høyre-invers. I tillegg virker det litt unødvendig komplisert.

Per definisjon er $(kA{)}^{-1}kA=I$. Gang med $A^{-1}$ fra høyre og del begge sider med $k$, og du er i mål.

[Aleks855]

Ja, jeg tenkte på det med at det var ensidig, men foreslo for meg selv at samme beviset kan føres på akkurat samme måte for venstre-invers. Men ja, det du sier er jo vesentlig mer konsist.

[Gustav]

Ja, jeg tenkte på det med at det var ensidig, men foreslo for meg selv at samme beviset kan føres på akkurat samme måte for venstre-invers. Men ja, det du sier er jo vesentlig mer konsist.

Ved nærmere ettertanke er vel egentlig beviset ditt bedre, dersom du i tillegg legger til beviset for venstre-invers. Årsaken er at det da vil gjelde for mer generelle tilfeller, og ikke bare for matriser.

[Aleks855]

Ah, nice. Takker! Mener du at det samme kan vises om å finne inverse for funksjoner generelt?

[Gustav]

Ah, nice. Takker! Mener du at det samme kan vises om å finne inverse for funksjoner generelt?

Nei, men jeg ser nå at det jeg først tenkte på var feil, og beviset (både ditt og mitt) gjelder egentlig kun for matriser/matrisemultiplikasjon og multiplikasjon med skalarer.

I et algebraisk perspektiv kan man, ved å betrakte skalarmultiplikasjon med k som matrisemultiplikasjon med en diagonalmatrise bestående av skalaren k på alle diagonalelementer ($kI$, der $I$ er identitetsmatrisen), se på problemet i ringen $V$ av kvadratiske matriser med elementer fra en kropp $K$. La $U$ være underingen bestående av alle matriser på formen $kI$ for $k\in K$. Da vil alle elementene fra $U$ kommutere med alle elementer fra $V$ ( For alle $A\in V$ og $B\in U$ er $AB=BA$ ). Dermed er $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ for alle inverterbare $A$, og alle $B\ne 0$ (der 0 står for nullmatrisen).

Generaliseringen jeg tenkte på var noe slikt: har man en ring V med identitet, samt en underring U, slik at U kommuterer med alle elementer fra V, da gjelder $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ for inverterbare $A\in V,B\in U$.

[Aleks855]

Det er forsåvidt greit for anledningen å ha bevist det bare for matrise- eller skalarmultiplikasjon. Det er tross alt veldig innledende lineær algebra det er snakk om. Må også innrømme at ringer og kropper er litt over mitt nivå foreløpig.

[Janhaa]

Det er forsåvidt greit for anledningen å ha bevist det bare for matrise- eller skalarmultiplikasjon. Det er tross alt veldig innledende lineær algebra det er snakk om. Må også innrømme at ringer og kropper er litt over mitt nivå foreløpig.

har du begynt å yppe deg på abstrakt algebra ?
:=)

[Aleks855]

Det spørs, men det er i så fall ufrivillig

Problemet mitt er at jeg har veldig, veldig lett for å bli interessert i nye matematiske emner og felter, og begynner gjerne å undersøke litt om alt. Så finner jeg ut at jeg mangler grunnlaget for å forstå det skikkelig. Håper dette endrer seg hvis (når) jeg starter på NTNU til høsten. Da får man jo et pedagogisk opplagt løp fra det ene til det andre. På fritida er det vanskeligere å se hva som er "neste emne" for å komme dit man vil.

[Janhaa]

Det spørs, men det er i så fall ufrivillig
Problemet mitt er at jeg har veldig, veldig lett for å bli interessert i nye matematiske emner og felter, og begynner gjerne å undersøke litt om alt. Så finner jeg ut at jeg mangler grunnlaget for å forstå det skikkelig. Håper dette endrer seg hvis (når) jeg starter på NTNU til høsten. Da får man jo et pedagogisk opplagt løp fra det ene til det andre. På fritida er det vanskeligere å se hva som er "neste emne" for å komme dit man vil.

hehe kjenner meg igjen der ja...blir nok mer matematikk på meg også etter hvert...stå på :=)