Hei, driver med vektorfunksjoner nå.
Lurer på noe av ordbruken og om jeg har forstått den rett.
Regn ut t når banen er vertikal.
I hvilke punkter krysset partikkelen andreaksen?
Når den er vertikal må jo x = 0 right?
Samme for når den skjærer andreaksen, da må jo x = 0 også?
Vektorfunksjoner - skjæring og parallell
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Den krysser andreaksen når x=0, som du så riktig påpeker. 
Men jeg er ikke helt enig i at x må være 0 for at banen skal være vertikal. Den kan jo like gjerne være vertikal på x=10 (avhengig av funksjonsuttrykket, selvsagt).
Tenk at du snur hele systemet 90 grader, da. Eller at du kaster en ball på skrått fremover. Hvis spørsmålet var å finne hvor banen er horisontal... Det trenger ikke være der y=0. Er du med? Banen vil i det tilfellet være horisontal i toppunktet, som ligger et visst antall meter over bakken. Ikke i y=0, som er på bakken.
Tilbake til oppgaven din:
Det er altså ikke x som blir 0 når banen er vertikal, men endringen av x. Er du med?
Men jeg er ikke helt enig i at x må være 0 for at banen skal være vertikal. Den kan jo like gjerne være vertikal på x=10 (avhengig av funksjonsuttrykket, selvsagt).
Tenk at du snur hele systemet 90 grader, da. Eller at du kaster en ball på skrått fremover. Hvis spørsmålet var å finne hvor banen er horisontal... Det trenger ikke være der y=0. Er du med? Banen vil i det tilfellet være horisontal i toppunktet, som ligger et visst antall meter over bakken. Ikke i y=0, som er på bakken.
Tilbake til oppgaven din:
Det er altså ikke x som blir 0 når banen er vertikal, men endringen av x. Er du med?
Ikke x-endringen. Den vil være 0. x endrer seg jo ikke.Flaw skrev:Dersom banen skal være vertikal (ikke horisontal) så må vel endringen være enten [tex]\infty[/tex] eller [tex]-\infty[/tex]
Sist redigert av Realist1 den 07/04-2014 00:33, redigert 1 gang totalt.
La meg utdype.
Si at vi har funksjonen
$$f: \left\{ \begin{array}{l} x(t) = -t^2 + 4t \\ y(t) = t \end{array} \right.$$
Her kan vi lage en tabell og plotte inn $x$- og $y$-verdier for noen verdier av $t$:
Plotter vi disse punktene inn i et koordinatsystem, får vi en kurve som ser slik ut:
Og hvor er så denne banen vertikal?
Den er vertikal der endringen av x er 0. Altså $x^{\prime}(t) = -2t + 4 = 0$ Dette gir oss svaret $t = 2$. Altså er banen vertikal når $t=2$. Omregnet i $x$- og $y$-verdier, gir dette oss $x = -2^2 + 4 \cdot 2 = 4$ og $y = 2$. Den er altså vertikal i punktet $(4,2)$.
Si at vi har funksjonen
$$f: \left\{ \begin{array}{l} x(t) = -t^2 + 4t \\ y(t) = t \end{array} \right.$$
Her kan vi lage en tabell og plotte inn $x$- og $y$-verdier for noen verdier av $t$:
Plotter vi disse punktene inn i et koordinatsystem, får vi en kurve som ser slik ut:
Og hvor er så denne banen vertikal?
Den er vertikal der endringen av x er 0. Altså $x^{\prime}(t) = -2t + 4 = 0$ Dette gir oss svaret $t = 2$. Altså er banen vertikal når $t=2$. Omregnet i $x$- og $y$-verdier, gir dette oss $x = -2^2 + 4 \cdot 2 = 4$ og $y = 2$. Den er altså vertikal i punktet $(4,2)$.
I din gitte funksjon, ja. Jeg ser for meg en partikkel som følger banen [tex]f(x)=\frac{1}{x-a}+b[/tex] der [tex]x \in (-\infty,a)[/tex]
Banen til denne partikkelen er vertikal når[tex]\lim_{x \to a^{-}}f(x)[/tex], eller [tex]\frac{dy}{dx}=-\infty[/tex]
Det er fullt mulig at jeg tar helt fullstendig feil, selvsagt.
Banen til denne partikkelen er vertikal når[tex]\lim_{x \to a^{-}}f(x)[/tex], eller [tex]\frac{dy}{dx}=-\infty[/tex]
Det er fullt mulig at jeg tar helt fullstendig feil, selvsagt.
Joda, det du sier her er helt rett.Flaw skrev:I din gitte funksjon, ja. Jeg ser for meg en partikkel som følger banen [tex]f(x)=\frac{1}{x-a}+b[/tex] der [tex]x \in (-\infty,a)[/tex]
Banen til denne partikkelen er vertikal når[tex]\lim_{x \to a^{-}}f(x)[/tex], eller [tex]\frac{dy}{dx}=-\infty[/tex]
Det er fullt mulig at jeg tar helt fullstendig feil, selvsagt.
I trådstarters tilfelle var det snakk om å derivere $x$ mhp $t$, i motsetning til den vanlige "$y$ mhp $x$" som vi er så vant til.
Jeg må innrømme jeg er litt usikker på hvordan det blir med $\frac{dy}{dx}$ i eksempelet mitt. Jeg klarer ikke å regne det ut selv, og Wolfram Alpha gir rett og slett bare svaret $\frac{dy}{dx} = 0$, som jeg ikke helt forstår. Hvis noen kan utdype blir jeg glad.
Ser ikke hvor du leser det. Men da er vi i alle fall enige, når vi snakker om det samme 
Slik du har definert den spesielle funksjonen varierer både x og y med t, og ikke eksplisitt med hverandre. Altså: [tex]\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=0\cdot\frac{dt}{dx}=0[/tex]. Om jeg tenker rett, men jeg tar helt sikkert feil!
Jeg tror funksjonen umulig kan vurderes som en funksjon med kun én variabel, så jeg kan ikke helt se hvordan spørsmålet [tex]\frac{dy}{dx}=c[/tex] gir mening ift. å studere endringen av funksjonen for verdier av x. Funksjonen er jo et uttrykt ved t. Det er sikkert noen langt mer skikket til å svare på dette enn meg, og uansett er vel trådstarten svart på.
Slik du har definert den spesielle funksjonen varierer både x og y med t, og ikke eksplisitt med hverandre. Altså: [tex]\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=0\cdot\frac{dt}{dx}=0[/tex]. Om jeg tenker rett, men jeg tar helt sikkert feil!
Jeg tror funksjonen umulig kan vurderes som en funksjon med kun én variabel, så jeg kan ikke helt se hvordan spørsmålet [tex]\frac{dy}{dx}=c[/tex] gir mening ift. å studere endringen av funksjonen for verdier av x. Funksjonen er jo et uttrykt ved t. Det er sikkert noen langt mer skikket til å svare på dette enn meg, og uansett er vel trådstarten svart på.
Leser hva?Flaw skrev:Ser ikke hvor du leser det.
$\frac{dy}{dt}=1$, så det blir i så fall $1 \cdot \frac{dt}{dx}$. Jeg vet egentlig ikke helt hvordan dette blir.Flaw skrev:Slik du har definert den spesielle funksjonen varierer både x og y med t, og ikke eksplisitt med hverandre. Altså: [tex]\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=0\cdot\frac{dt}{dx}=0[/tex]. Om jeg tenker rett, men jeg tar helt sikkert feil!
Nei, jeg vet ikke jeg heller. Jeg begynte egentlig å tenke på dy/dx, siden du nevnte uendelig stigningstall på en vertikal graf. Det vil jo i så fall måtte være den deriverte av y mhp x som er uendelig..?Flaw skrev:Jeg tror funksjonen umulig kan vurderes som en funksjon med kun én variabel, så jeg kan ikke helt se hvordan spørsmålet [tex]\frac{dy}{dx}=c[/tex] gir mening ift. å studere endringen av funksjonen for verdier av x. Funksjonen er jo et uttrykt ved t.
Grafen min er jo symmetrisk om linjen y=2. Det som er over denne linjen har da altså nøyaktig samme stigningstall som det som er under, bare med motsatt fortegn. Kan det være at summen av disse blir 0, og derfor er dy/dx lik 0?
- Skjermbilde 2014-04-08 kl. 13.53.39.png (20.68 kiB) Vist 2186 ganger
Årsaken til at wolfram gir svaret $\frac{dy}{dx} = 0$ er muligens at den tolker $t$ som en konstant.Realist1 skrev: Jeg må innrømme jeg er litt usikker på hvordan det blir med $\frac{dy}{dx}$ i eksempelet mitt. Jeg klarer ikke å regne det ut selv, og Wolfram Alpha gir rett og slett bare svaret $\frac{dy}{dx} = 0$, som jeg ikke helt forstår. Hvis noen kan utdype blir jeg glad.
Det riktige svaret kommer man frem til ved å f.eks. differensiere : Vi får at
$dx=-2tdt+4dt$
$dy=dt$
Så $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{-2tdt+4dt}=\frac{1}{-2t+4}=\frac{1}{-2y+4}$,
som er et implisitt uttrykk. Vi du ha et uttrykk som kun avhenger av x kan du bruke sammenhengen $x=-y^2+4y$:
Vi får at $y^2-4y=-x$, og fullfører kvadratet slik at $(y-2)^2=y^2-4y+4=-x+4$. Altså er $y=2\pm \sqrt{4-x}$.
Innsatt i uttrykket for den deriverte blir
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{-2y+4}=\frac{1}{-2(2\pm \sqrt{4-x})+4}=\frac{1}{\pm 2\sqrt{4-x})}$. Får vi altså to verdier for hver x-verdi, og det er som forventet fra din graf. I tillegg må $4-x\geq 0$ for å få reelle verdier for den deriverte. Vi ser også at dersom 4-x=0 blir den deriverte uendelig, noe som samsvarer med grafen i punktet x=4
Der ja, takk plutarco!
At åpningsinnlegget spurte om å "derivere x mhp t, i motsetning til den vanlige "y mhp x" som vi er så vant til" - slik du skriver. Men da har plutarco ryddet opp alt for oss, og alt er konsekvent slik det burde være. Litt flaut å ikke tenke seg frem til dette selvLeser hva?
Ah, ja, nei, det var visst noe jeg diktet opp i hodet mitt.Flaw skrev: At åpningsinnlegget spurte om å "derivere x mhp t, i motsetning til den vanlige "y mhp x" som vi er så vant til" - slik du skriver.
Synes bare å huske at alt som kaltes vektorfunksjoner på VGS var gitt som parameterfunksjoner i form av x(t) og y(t).
\o/Flaw skrev:Men da har plutarco ryddet opp alt for oss, og alt er konsekvent slik det burde være. Litt flaut å ikke tenke seg frem til dette selv
