Laplace-transformasjoner

[Aleks855]

Dette er ikke pensum for min egen del, men Laplace er noe jeg ser dukker opp støtt og stadig, og jeg finner ingen forklaringer jeg helt får grep om.

Hva er det jeg bør være kjent med før jeg begynner å undersøke Laplace? Å utføre selve transformasjonen virker i og for seg greit. Jeg er kjent med uekte integraler med uendelige grenser, og jeg kan fint regne dem ut. Men hva brukes de til? Hva bør jeg være borti for å skjønne nytteverdien av dem?

Det samme spørsmålet har jeg forsåvidt også om Fourier, men det tror jeg er hakket over igjen (?).

Såvidt jeg har skjønt kan det hjelpe til med å løse differensiallikninger, men det er egentlig så langt min forståelse når akkurat nå.

[Gustav]

-Foutsetningene for å lære det grunnleggende om Laplace transformasjon er kun litt kalkulus tilsvarende begynneremnene på ethvert universitet/høyskole.

-Laplace transformasjon er vel noe som stort sett elektroingeniører driver med. Fourier transformasjon og mer avanserte generaliseringer av dette er mer interessant ut fra et matematisk perspektiv. (fourier- og harmonisk analyse)

Laplace transformasjon kan ofte være nyttig i forbindelse med diff.ligninger. Hvis $y(t)$ er den ukjente funksjonen, og $t$ er variabel, kan man uttrykke en ordinær diff.ligning generelt på formen $f(t,y(t),y'(t),y''(t),...,y^{(n)}(t))=0$ der $f$ er en gitt funksjon. I mange tilfeller kan man forenkle løsningen ved å Laplace transformere $f$ slik at vi ender opp med en ligning på den generelle formen $g(s,F(s))=0$ der $F(s)$ er Laplace transformen av $f(t)$, og $s$ er en ny variabel. Deretter kan man løse denne ligningen for $F(s)$ og tilbaketransformere (finne den inverse Laplace transformen) for å finne $f(t)$.

Et ekstremt enkelt eksempel er følgende:

Anta at vi skal løse $y'(t)=1$ for $t\geq 0$ med starbetingelsen $y(0)=y_0$, ved hjelp av Laplace transformasjon. Transformerer begge sider av ligningen:

$\mathcal{L}(y'(t))=\mathcal{L}(1)$

Nå kan man enten slå opp i en tabell eller utføre integralene selv. Fra tabellen har vi at

$\mathcal{L}(y'(t)) = sY(s)-y(0)$ og

$\mathcal{L}(1) = \frac{1}{s}$

Altså får vi ligningen

$sY(s)-y(0)=\frac{1}{s}$, som er det samme som at

$Y(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{y(0)}{s}$.

For å finne $y(t)$ bruker vi nå den inverse Laplacetransformasjonen av $Y(s)$:

$y(t)=\mathcal{L}^{-1} (Y(s)) = \mathcal{L}^{-1} (\frac{1}{s^2}+\frac{y(0)}{s}) = \mathcal{L}^{-1} (\frac{1}{s^2})+y(0)\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s})$

(Den siste likheten kommer av at Laplace transformasjonen (og dens inverse) er lineær: Fra definisjonen er

$\mathcal{L}\left (af(t)+bg(t)\right )=\int_0^\infty (af(t)+bg(t))e^{-st}\,dt= a\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt+b\int_0^\infty g(t)e^{-st}\,dt = a\mathcal{L}\left (f(t)\right )+b\mathcal{L}\left (g(t)\right )$

Analogt for den inverse transformasjonen.)

Nå har vi fra tabellen at

$\mathcal{L}^{-1} (\frac{1}{s^2}) = t\cdot u(t)$ der $u(t)$ er Heaviside-funksjonen, og

$\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s}) = u(t)$.

Altså er

$y(t) = t\cdot u(t)+y(0)u(t) = (t+y(0))u(t)$.

Det aktuelle området for variabelen $t$ er $t\geq 0$, og da er $u(t)=1$, så løsningen blir

$y(t)=t+y(0)=t+y_0$, som stemmer med det vi vet fra før.

Selv om det i dette eksempelet ikke er hensiktsmessig å bruke Laplace transformasjon til å løse diff.ligningen, vil det i andre tilfeller kunne være lurt.

[Vektormannen]

Nytteverdien er vel først og fremst å løse diffligninger, som plutarco viser. Det var egentlig bare det vi brukte Laplace-transformasjonen til når jeg hadde om det (faget Matematikk 4K). Den brukes også i elektronikk til å beskrive og konstruere kretser uten å måtte styre med diffligninger osv. Jeg syns det er litt vanskelig å få en intuitiv idé om hva Laplace-transformasjonen gjør, i motsetning til Fourier-transformasjonen. Fouriertransformasjonen, i alle fall anvendt på periodiske funksjoner, er ganske inuitiv hvis man har hatt om fourierrekker og litt om signaler eller akustikk.

[Aleks855]

Wow, tusen takk for forklaringene! Dette var virkelig matnyttige greier.

Men hva menes med at Laplace-transformasjonen er lineær? Jeg kjenner ordet "lineær" bare som rettlinjet funksjon, eller i begrepet "lineærkombinasjon". Når jeg ser på definisjonen du har skrevet, plutarco, så ser jeg at $\mathcal{L}(af(t) + bg(t) = a\mathcal{L}(f(t)) + b\mathcal{L}(g(t))$. Er dette å betrakte som en lineærkombinasjon, og derfor kalles transformasjonene lineære?

Jeg stussa på dette tidligere, fordi jeg tenkte "1/s er da ikke lineær".

[Vektormannen]

En funksjon (eller operator) kalles lineær dersom det er slik at [tex]f(x+y) = f(x) + f(y)[/tex], og at [tex]f(ax) = af(x)[/tex], eller mer kompakt at [tex]f(ax + by) = af(x) + bf(y)[/tex]. Integral- og derivasjonsoperatorene er eksempler på lineære operatorer, og Laplace-operatoren er det altså også (siden den jo defineres ved et integral).

[Gustav]

Kan jo nevne i samme slengen at Fourier-transformasjon kan brukes til å løse diff.ligninger på i prinsippet identisk måte som jeg beskrev over.

I tillegg er Fourier-transformasjon spesielt nyttig for å analysere signaler: Dersom $f(t)$ er et signal(bølge) beskrevet i tidsdomenet, vil Fourier-transformen $\hat{f}(\omega)$, som er en kompleks funksjon med reell og imaginær del, angi hvilke bølgefrekvenser det opprinnelige signalet består av (det opprinnelige signalet vil kunne beskrives som en superposisjon av bølger med ulike frekvenser, amplituder og faseforskyvninger).

Siden Fourier-transformen er kompleks er det dermed mulig å beskrive både størrelse/amplitude samt fasen til hver frekvens.

På den måten kan man ved å Fourier-transformere signalet man har målt, få inngående og nøyaktig informasjon om hvilke bølger signalet består av. Dette har mange praktiske anvendelser f.eks. innen medisin.

[Guest]

Hva studerer du, Aleks, og hvor langt i studiene har du kommet?

[Aleks855]

Hva studerer du, Aleks, og hvor langt i studiene har du kommet?

Oj, denne tråden gikk i glemmeboka, sorry! Jeg går dataingeniør, 3-årig bachelor. Siste semester nå, så jobber med bachelorprosjektet.

Men apropos denne tråden; når er det logisk å lære seg om Fourier-transformasjoner? Hva er det som bør ligge i grunn før man har forutsetningene til å kunne jobbe med, og forstå det?

[Vektormannen]

På NTNU er det i Matematikk 4K man lærer om Fourier-transformasjoner, men det er veldig overfladisk. Det er nødvendig å vite litt om Fourierrekker først. Disse er nokså intuitive (i alle fall med tiden), og de gjør det lettere å forstå hva Fouriertransformasjonen egentlig gjør. Fourierrekker er også pensum i 4K, men man møter også på dem i MA1102 Analyse II (i alle fall når jeg tok faget). I disse fagene blir de presentert på en "sånn er det"-måte, som ikke gir så mye rom for forståelse, syns jeg. Jeg vil si at MA1202 (Lineær algebra med anvendelser) innfører Fourierrekker på den beste måten. Mye av stoffet i MA1202 dreier seg om vektorrom, deriblant vektorrom der vektorene er funksjoner. Det viser seg at i vektorromet som består av såkalte kvadratisk integrerbare funksjoner, kan vi lage en ortonormal basis av trigonometriske funksjoner (eller mer generelt komplekse eksponentialfunksjoner). Når vi så forsøker å uttrykke en vektor (som altså er en funksjon) i denne basisen, altså å skrive vektoren som en lineærkombinasjon av basisvektorer, detter Fourierrekken til funksjonen ut!

Jeg vil anbefale deg å ta MA1202 før du begir deg ut på Fourierteorien, men det er vel ikke strengt nødvendig. 4K gir en ok innføring med mer fokus på det regnetekniske. Når det gjelder intuitiv forståelse og anvendelse så ligger mye av det i fysikk, elektronikk og akustikk. Fourierteori er f.eks. veldig viktig innenfor signalbehandling, siden det lar oss "dekomponere" et signal til de forskjellige sinus-komponentene (eller "frekvensene") det består av.

edit: refererer til NTNU-emner her da jeg regner med du forstatt har tenkt å ta matte på NTNU?

[Aleks855]

Takk for infoen!

Hvis mer lineær algebra er det jeg trenger, så er jeg sannsynligvis ikke klar for det enda. Når det gjelder lin-alg så har jeg bare veldig overfladisk kjennskap. Eller... Jeg har jo tatt mye av det i bruk i form av 3D-programmering, og det var jo veldig interessant.

De underemnene jeg har vært borti er underrom, transformasjoner, determinanter, og egenverdier og -vektorer, samt bruk av dette til å løse system av differensiallikninger. Sistnevnte var vel det siste punktet på læreplanen i faget vi hadde.

Egenverdier og -vektorer var et godt eksempel på ting man skjønner mye bedre ved god visualisering (som følge av velskrevne oppgaver).

Jeg ser kursbeskrivelsen av MA1202, og den er nok hakket over igjen. Men jeg ser det bunner ut i Fourieranalyse som et av de siste punktene.

Etter å ha lest litt om Fourier-rekker så må jeg konkludere med at jeg skjønner hva det gjør, og hvordan det gjøres, sånn innledningsvis i alle fall. Men når jeg leser litt om den matematiske teorien bak det, så blir det litt rotete.

Og til editen: Ja, jeg har fremdeles planer om å studere matematikk ved NTNU, hvis de vil ha meg

[Nebuchadnezzar]

For å få en enda dypere matematisk forståelse
kan en for eksempel også ta TMA4170 - Fourieranalyse,
men da bør en minst ha tatt MA1201, MA1202, TMA4145,
skader ikke å ha tatt funksjonsanalyse heller.

For en mer praktisk retning så kan Måleteknikk TFY4185
og TET4100 - Kretsanalyse. Førstnevnte er mer et praktisk
fag hvor en bruker signalbehandling til å bygge kretser (Vektormannen
kan mer om dette enn meg) og sistnevnte er ut i fra min
erfaring en blanding av 4k og Måleteknikk, med hovedfokus
på laplace og fourier.