$p \circ f$ tar bare reelle verdier, vise at $f$ er konstant

[Nebuchadnezzar]

Sitter og droodler litt med kompleks analyse. Har en oppgave
hvor $f$ er en holomorf funksjon på et området $D$ og $p$ er et polyonom
av positiv grad $k$ i $z$.

Jeg vet at siden $p \circ f$ bare tar reelle verdier, så må $p \circ f$
vøre konstant. Følger av Cauchy Rieman likningene siden $\mathrm{Im} ( p \circ f ) = 0$.

Men hvordan kan jeg bruke dette til å vise at $f$ er konstant?

[Gustav]

Bevis ved motsigelse

Anta at det fins $z_1$ og $z_2$ i $D$ slik at $f(z_1)\neq f(z_2)$.

Fra open mapping theorem fins det nå en sammenhengende og åpen delmengde $E=f(D)$ som inneholder punktene $f(z_1)$ og $f(z_2)$, slik at $f^{-1}(E)\subseteq D$.

Dette gjør at vi kan betrakte $p:E\to \mathbb{C}$ som en konstant funksjon på domenet $E$.

La p ha grad n og skriv $p(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$. Siden p er holomorf kan vi derivere n-ganger og vi får $n!a_n=0$. Altså er $a_n=0$. Induktivt vil alle koeffisientene unntatt $a_0$ være 0. Altså har $p$ grad 0, noe som er en motsigelse. Det følger at f er konstant på D.

EDIT: ryddet opp litt