R1- Sirkel

[Guest]

Her er screenshot av oppgaven, link:
http://gyazo.com/be6e39d42af4eb23f056c92db3e1ba05

Jeg har klart alt bortsett fra e), den siste oppgava. Jeg har tatt i bruk alt jeg klarer å komme på, tegnet figurer etc, men klarer/skjønner virkelig ikke hva jeg skal gjøre.

Kan dere være så snill og hjelpe meg? Jeg er stort sett glad og god i geometr, men klarer virkelig ikke å koble noe til oppgaven.

Fasiten sier: [tex]\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}[/tex]

Er øving til prøve. Har til og med konferert med flere venner, men vi kan virkelig ikke se løsningen.

[Guest]

Hjelp, please

[skf95]

Slik du presenterer oppgaven, blir så vidt jeg kan se ingen lengder oppgitt. Dette framkommer kanskje i deloppgave a) (den er nemlig ikke på bildet)? Slik vi får se oppgaven nå, kan vi bare finne avstanden mellom sentrene i forhold til en annen lengde.

[ThomasSkas]

Beklager så meget, trodde ikke a) hadde noe å si

Her: http://gyazo.com/19e873d62fb607661581833c7c2f1103

At den må ligge på Appolonius sirkel, brukte jeg at vinkel = 90-v = 90 - 60 = 30 grader.

[ThomasSkas]

Hjalp det noe eller?

[Zewadir]

Jeg har et løsningsforslag, men sliter med å konvertere det til eksakte verdier.

EDIT: Oppgave d) er egentlig oppgave e).
Jeg har fokusert på trekanten laget av punktene A, B og Sentrum i den innskrevne sirkelen.
- Der finner jeg vinklene RAB og ABR ved at de er halveringslinjene.
- Så bruker jeg vinklene og lengden AB til å finne høyden over AB og lengden i x-retning fra A som vil være koordinatene til sentrum i den innskrevne sirkelen (hvis A = (0,0))
- Sentrum til den store sirkelen har x-koordinat AB/2 = 3 p.g.a at ABS er en likebeint trekant.
- y-koordinatet finner jeg ved radiusen til sirkelen multiplisert med sin 30 = 1.732
- Resten er vektoregning

Sirkel.jpg (145.03 KiB) Viewed 2003 times

[Zewadir]

Her er så langt jeg har kommet med eksakte verdier

photo 2.jpg (183.66 KiB) Viewed 2002 times

[Brahmagupta]

Setter først opp verdiene som er regnet ut i tidligere deloppgaver som er nødvendig for denne utregningen.

[tex]r=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}=3-\sqrt3[/tex]

[tex]AC = 4\sqrt3[/tex]

Fremgangsmåten er som følger. Trekk først normalen fra O ned på siden AC og kall dette punktet D. Da ser vi at [tex]\triangle{DOS}[/tex]
inneholder distansen vi er ute etter, [tex]OS[/tex]. [tex]OD=r[/tex] så om vi kan finne [tex]SD[/tex] kan vi benytte pytagoras for å finne [tex]OS[/tex].

Så den første oppgaven er altså å finne [tex]SD[/tex]. Merk at siden [tex]AC[/tex] er diameter i sirkelen med sentrum i S så er
[tex]SC=\frac12 AC=2\sqrt3[/tex]. Per definisjon så ligger sentrum for den innskrevne sirkelen i skjæringspunktet til halveringslinjene
fra hjørnene. Dermed er [tex]\angle{OCD}=30[/tex]. Videre har vi at [tex]CD=\frac{r}{\tan{30}}=3\sqrt3-3[/tex] og
[tex]SD=SC-CD=2\sqrt3-(3\sqrt3-3)=3-\sqrt3[/tex].

Til slutt har vi da ved pytagoras at [tex]OS=\sqrt{(3-\sqrt3)^2+(3-\sqrt3)^2}=\sqrt2(3-\sqrt3)=3\sqrt2-\sqrt6[/tex].

Dette svaret er ekvivalent med svaret fasiten gir, som kan vises på følgende måte.

[tex]\frac{2\sqrt3}{\sqrt{\sqrt3+2}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt{4+2\sqrt3}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt{(1+\sqrt3)^2}}=\frac{2\sqrt6}{1+\sqrt3}[/tex]

[tex]=\frac{2\sqrt6 (\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{6\sqrt2-2\sqrt6}2=3\sqrt2-\sqrt6[/tex]

I første overgang ganger jeg teller og nevner med [tex]\sqrt2[/tex] og videre er trikset å innse at [tex](1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3[/tex].

Merk at dette er en fullstendig geometrisk løsning, i motsetning til fasiten som legger opp til en løsning ved koordinatgeometri.

Edit.

[Guest]

Bare lurer på, i siste ledd, når du bruker Pytagoras til å finne OS, hvilke sider bruker du da? Ettersom du har at begge de to sidene du bruker er like lange.

[Guest]

For, når jeg regner siste ledd i Pytagoras på kalkulator , får jeg ikke fasitsvaret.

[Brahmagupta]

Jeg bruker [tex]OD=r[/tex] og [tex]SD[/tex]. Altså [tex]OD^2+SD^2=OS^2[/tex]. [tex]SD[/tex] viste seg å være lik r etter utregning.

[Guest]

jeg gjorde følgende
http://gyazo.com/1b7be236dad548dda364fd90b200f5ae

hvis jeg bruker (3-roten av 3)^2 2 ganger får jeg jo ikke fasit svar? du bruker i Pytagoras leddet det samme tallet to ganger, for radiusen har vi funnet tidligere i oppgaven som er det andre leddet under mitt rottegn i screenshooten.

[Brahmagupta]

Saken er den at

[tex]\frac{12\sqrt3}{6+6\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}=\frac{2\sqrt3(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{6-2\sqrt3}2=3-\sqrt3[/tex]

Altså uttrykket for radiusen kan også skrives som [tex]3-\sqrt3[/tex], så fasitsvaret kommer frem uansett.

Jeg valgte å bruke uttrykket [tex]r=3-\sqrt3[/tex] fremfor [tex]r=\frac{12\sqrt3}{6+6\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}[/tex] siden
dette gir mye enklere regning, men for å komme frem til riktig svar spiller det ingen rolle hvilken av dem som brukes.