Dobbelintegral

[saviorself]

kake2.png (9.76 KiB) Viewed 1561 times

Trenger litt hjelp med å skjønne hvorfor ting blir som de blir her.

Ser av integrasjonsgrensene til y at [tex]y=\sqrt{a^2-x^2}[/tex] som igjen gir oss sirkelen [tex]y^2+x^2[/tex] med radius [tex]a[/tex].
Gjør så om til polarkoordinater og finner at [tex]a=r[/tex] og [tex]e^{x^2+y^2}=e^{r^2}[/tex].

Når vi nå skal sette opp de nye integrasjonsgrensene, hva er det som sier oss at det bare er en halvsirkel vi skal integrere over?
altså: [tex]\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a}e^{r^2}r dr d\theta[/tex]

Er jeg i nærheten av riktig om jeg sier at [tex]-a \rightarrow a[/tex] tilsvarer at [tex]\theta[/tex] går fra [tex]0 \rightarrow \pi[/tex] i polarkoordinater?

[Nebuchadnezzar]

Ikke helt, har du prøvd å tegne området?
Vi har som du sier at $a^2 = x^2 + y^2$ beskriver
en sirkel. Derimot om vi isolerer y får vi

$ \hspace{1cm}
y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 }
$

Det essensielle er altså $\pm$ tegnet. Velger
vi positivt fortegn får vi en funksjon i det øvre halvplanet,
mens negativt fortegn gir oss det nede halvplanet.

En kan tenke seg at $-a$ til $a$ er en forflytning i $x$-retning
mens fra $0$ til $\sqrt{a^2 -x^2}$ er en forflytning i $y$-retning.
Dette uttrykket er positivt for alle $x \in [-a,a]$ og vi får dermed
bare øvre halvsirkel. Derimot så beskriver

$ \hspace{1cm}
\int_{-a}^{a}
\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} e^{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^a e^{r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
$

en hel sirkel. Hvilket området beskriver

$
\int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} e^{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \ ?
$

[saviorself]

Hmm, vil vi ikke være tilbake på øvre halvsirkel nå? Roter en del når jeg tegner områder og skal sette grensene, så du skal ha takk for at du gir det et forsøk å hjelpe!

[Nebuchadnezzar]

Anbefaler deg å tenke på først den indre grensen som en funksjon
$y(x) = \sqrt{a^2 - x^2}$ også neste grense sier hvilke verdier du har lov å
putte inn (veldig, veldig grovt forklart). Så du bare tegner funksjonen
ovenfor i $xy$-planet. Kan gi deg en skisse men du lærer mer av å prøve selv =)

Her får du to funksjoner du må tegne (både øvre og nedre grense).



Så dobbeltintegralet jeg skrev vil være funksjonen $f$ integrert over
både det røde og det svarte området på figuren. Helt pedantisk kan en
vise dette som

\begin{align*}
{\color{red}{\text{ Rød }}} \cup \text{ Svart }
& = \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} f(x) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
+ \int_0^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^0 f(x) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\
& = \int_0^a \left( \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} f(x)\,\mathrm{d}x
+ \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^0 f(x) \,\mathrm{d}x \right) \,\mathrm{d}y \\
& = \int_0^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} f(x) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\end{align*}

Som ønsket. Her ble det bare brukt at $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$ som er logisk nok.

[saviorself]

Glimrende, ble jo en lek å løse dobbel og trippelintegraler til slutt

Takk!