vector calculus i flerdimensjonalanalyse

[janne69]

Jeg lurer på om noen kjenner oppgave 11 i 5.5 :triple integral i vectorcalculus?

[Aleks855]

Post heller oppgaven for søkbarheten. Det også veldig mulig at mange er på ferie og glemte å pakke med seg Vector Calculus.

[janne69]

oppgaven: volumet til the solid bounded by z=x^2+y^2 og z = 10-x^2 - 2y^2.
Min løsning, deler av den, får ikke til å skrive her.
Integrasjonsgrensene mine :
-(5)^1/2 <=x<=(5)^1/2
-(10/3-2/3x^2)^(1/2)<=y<=(10/3-2/3x^2)^(1/2)
x^2+y^2<=z<=10-x^2-2y^2
Jeg har samme integrasjonsgrenser som studiebok og løsning på nettet jeg har funnet
Først integrerer jeg m.hp. z så y og til slutt x.
Når jeg har kommet til integrasjonen mhp. x så setter jeg x = (5)^(1/2)*sinus(ø)
og setter inn for x og finner nye integrasjonsgrenser -pi/2<=ø<=pi/2 og finner dx uttrykt via dø. Vet ikke om dette er en metode som skal brukes, men har brukt den på 2 andre oppgaver også og fått til.
Mitt svar er V= 35pi*(6)^(1/2)/3.
Fasitens svar: V=50pi/6^(1/2).
Jeg har funnet et løsningsforslag på nettet med samme svar som fasit. Løsningsforslaget bruker polarkoordinater.
utdrag fra løsningsforslaget:
x^2+y^2=10-x^2-2y^2

det blir x^2/5+y^2/(10/3)=1.

lar x =5^(1/2)rcos(ø), Y =(10/3)^(1/2)rsinø, og derfor dxdy = 5(2/3)^(1/2)rdrdø. Men skal ikke dxdy = rdrdø, eller er det noe jeg ikke har forstått.
Hvordan utledes dxdy=5(2/3)^(1/2)rdrdø?

[Nebuchadnezzar]

Virker som du har glemt hvordan en subtitusjon i flervariabler fungerer, og bare har pugget regler.
Anbefaler deg å lese deg opp på "Jacobian Matrix" og "Jacobian Determinant". Burde stå under
kapitellet om substitusjon. Se for eksempel http://www.mecmath.net/calc3book.pdf side 119, theorem 3.1.

Anta at $x = x(u,v)$ og $y = y(u,v)$, da er

$ \hspace{1cm}
\iint f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y
= \iint f(x(u,v),y(u,v))
\begin{vmatrix} {\partial x\over\partial u} & {\partial x\over \partial v} \\
{\partial y\over \partial u} & {\partial y\over \partial v}
\end{vmatrix} \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
$

Hvor $| ... |$ betegner determinanten. Ved å sette inn og regne ut vil du få det samme som løsningsforslaget sier.
Det er KUN når du setter $x = r \cos \phi$ og $y = r \sin \phi$ at $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi$. Eg

$
J(r,\phi)
=
\begin{vmatrix}
{\partial x\over\partial r} & {\partial x\over \partial\phi} \\
{\partial y\over \partial r} & {\partial y\over \partial\phi}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
{\partial (r\cos\phi)\over \partial r} & {\partial (r\cos\phi)\over \partial \phi} \\
{\partial(r\sin\phi)\over \partial r} & {\partial (r\sin\phi)\over \partial\phi}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\cos\phi & - r\sin\phi \\
\sin\phi & \phantom{-} r\cos\phi
\end{vmatrix}
= r \cos^2 \phi + r \sin^2 \phi = r
$

Du kan gjøre samme regning som ovenfor nå med $x = a r \cos \phi$ og $y = b r \sin \phi$ og se hva du får. Jeg får det samme som fasit.

[janne69]

Tusen takk, tror jeg skal få den til nå. Ser for meg at jeg skal multiplisere jacobi-determinanten med drdø.
Altså er dxdy = J*drdø?

[Nebuchadnezzar]

Jupp