Differensialligning (trenger hjelp, senederste innlegg)

[modasser]

Hei folkens, har en oppgave b) her jeg trenger hjelp til å få løst:

Oppgaven er:

Betrakt differensialligningen

(*)

[tex](1+x^2)y^\prime +2xy=(1-x^2)^k[/tex]

der [tex]\:k \neq 0 \:[/tex] er en reel konstant.

a)Finn den generelle løsningen av (*) i tilfellet [tex]\: k=\frac{1}{2}[/tex].

svar a):

[tex]y(x)=\frac{arcsin(x)}{2(1+x^2)}+\frac{sin(2arcsin(x))}{2(1+x^2)}+\frac{C}{(1+x^2)}[/tex]

Riktig til hit.

Det jeg trenger hjelp til er følgende:

b)

La [tex]\: k \neq 0 \:[/tex]være vilkårlig. Anta at y(x) er en spesiell løsning av (*) som er slik at y`(1/2)=0.Hva er y(1/2)? Avgjør om x=1/2 er et lokalt maksimumspunkt for y(x), et lokalt minimumspunkt for y(x) eller ingen av delene.

Problemet er å finne y(1/2), hvordan finner jeg denne når C ikke er kjent?

[Janhaa]

hei, du finner jo C når y deriveres og settes lik null. Dvs y' (1/2) = 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+% ... 9%29%29%27

da kan denne C brukes for utregning av y(1/2).

[modasser]

Fremdeles lurer jeg på noe etter å ha tatt en nærmere titt:

I fasiten står det:

[tex]y(\frac{1}{2})=(\frac{3}{4})^k[/tex]


Men jeg fikk noe helt annet:

[tex]y(x)=\frac{arcsin(x)}{2(1+x^2)}+\frac{sin(2arcsin(x))}{2(1+x^2)}+\frac{C}{(1+x^2)}[/tex]

[tex]y(x)=\frac{arcsin(x)}{2(1+x^2)}+\frac{sin(2arcsin(x))}{2(1+x^2)}+\frac{\frac{9}{8\sqrt{3}}-\frac{\pi}{24}}{(1+x^2)}[/tex]

Det er jo ingen k i dette her.Så om jeg satte inn 1/2 inn i dette så hadde jeg uansett manglet k..
Så hvordan kom fasiten til det svaret med k ?