vector calculus

[janne69]

1. hvordan integrerer man (1+x^2)^1/2dx, uten å bruke en bestemt formel? den kan det hende man ikke husker på eksamen, dessuten er det å bedre å utlede det.
Jeg tenker x=tan(t) og kommer til slutt til å måtte integrere 1/(cos(x))^3 eller jeg tenker delvis integrasjon og kommer til slutt og måtte integrere 1/(1+x^2)^1/2.

2. Torus T i R^3 er gitt ved koordinatfunksjonene x = (R+cos(fi))cosø, y = (R+cos(fi))sinø, z = sin(fi). 0<=ø<=2pi, 0<=fi<=2pi og R<1 er fast. Vis at A(T) =(2pi)^2R.
Jeg bruker her:
z=sin(fi)
z=f(y)
y=R+cos(fi)

Formelen som skal brukes: A(S) =2pi*integrer fra 0 til 2pi av fi av ((absoluttverdi av y)*(1+(dz/dy)^2)^1/2)dy.
y er positiv slik at absoluttverdi av y = y. (1+(dz/dy)^2)1/2 = (1+cot(fi))^1/2 og dy = -sin(fi).
Derfor får jeg absolutverdi av y*(1+(dz/dy)^2)dy = y*1/sin(fi)*(-sin(fi))= -y. løsningsforslaget får y i stedet.
Mitt overflateareal via denne formelen er -(2pi)^R, via en annen formel som også skal brukes i oppgaven får jeg (2pi)^2R som er riktig.

3. Bruk et surface integral til å finne areal av quadrilateral D i R^3 med (-1,1,2), (1,1,2), (0,3,5), (5,3,5). Verify svaret ved å finne lengdene av sidene og bruke klassiske geometri. Et løsningsforslag gjør det slik: et kryssprodukt av vektorene fra (-1,1,2) til (1,1,2) og (0,3,5) og får via formel for areal av surface arealet : (21)^1/2/2 og på geometrimåten: halvparten av kryssproduktet av diagonalene.
Jeg tenker slik at man må regne to kryssprodukt for å få med (5,3,5) i det ene kryssproduktet .
geometrimåten: Jeg tenker slik: Arealet = kryssproduktet av diagonalene.
Da blir det et areal på(21)^1/2.

[Janhaa]

1.
bruk x = sin(t)
dx = cos(t) dt
DVs
[tex]I=\int \sqrt{1-x^2} \,dx= \int \sqrt{1 - \sin^2(t)} * \cos(t)\, dt[/tex]

[tex]\int \sqrt{\cos^2(t)}*\cos(t) \,dt[/tex]

[tex]\int \cos(t)*cos(t) dt=\int \cos^2(t)\, dt[/tex]

etc..
===
===
ser jeg integrerte feil integral.

sjekk linken under

http://planetmath.org/integrationofsqrtx21