Parametriske kurver

[Jerry]

To spørsmål:

1) Find the area R bounded by the coordinate axes and the parabolic arc x=sin[sup]4[/sup]t and y=cos[sup]4[/sup]t

Jeg kjenner til formlene for å finne arealet av slike områder, gitt at det nå ligger i første kvadrant, så blir det A = [itgl][/itgl] y(t)*x'(t) dt fra t=a til t=b.

I dette tilfellet vet jeg ikke t, men disse to trigonometriske funksjonene kan jo ikke variere fra mer enn 0 til 2[pi][/pi], evt. om jeg skal ta med -2[pi][/pi]?

2) Show that the parametric curve x=t[sup]3[/sup]-1 and y=t[sup]2[/sup] have two different tangent lines at (0,1), find the lines and their slopes.

Tenkte da først at jeg måtte finne hvilke t-verdier (0,1) svarte til.
0 = t[sup]3[/sup]-1 og 1 = t[sup]2[/sup]
Dette gir såvidt jeg skjønner bare t-verdien 1, som kan tilfredstille begge.

Dersom jeg setter inn den verdien i formlene for tangent til en parametrisk kurve, får jeg feil, dessuten bare én tangent også.

Hva gjør jeg galt?

[Solar Plexsus]

1) Du må finne de t-verdiene som gir x=0 og y=0. For t=0 er x=0 og for t=[pi][/pi]/2 er y=0. Dette betyr at når t gjennomløper intervallet [0,[pi][/pi]/2], beveger punktet (sin[sup]4[/sup]t,cos[sup]4[/sup]t) fra (0,1) til (1,0). Så nedre og øvre i "arealintegralet" blir hhv. t=0 og t=[pi][/pi]/2.

2) Du har ikke gjort noe galt! Her er y=(x + 1)[sup]2/3[/sup] og grafen til y har dermed bare en tangent i punktet (0,1). Tangenten er gitt ved likningen y=(2x/3) + 1.

[Jerry]

På nr. 2 sier fasiten +/- 1
Når jeg har funnet tangenten på parameterform, hvordan finner jeg da "slope"?

[Solar Plexsus]

Slope betyr stigningstall på norsk!

[Jerry]

Det medfører riktighet.

Så var det denne 1) da.
Dersom jeg har gjort det rett står jeg der med 4 [itgl] [/itgl] cos[sup]5[/sup]t * sin[sup]3[/sup]t dt, fra 0 til [pi][/pi]/2. Dette har jeg problemer med å integrere.

[Solar Plexsus]

Bruk substitusjonen u=cos[sup]2[/sup]t. Da får du at

4[itgl][/itgl]cos[sup]5[/sup]t*sin[sup]3[/sup]t dt = -2[itgl][/itgl]u[sup]2[/sup](1 - u)du.

[Jerry]

Woha, jeg kom i mål!