Integral

[zell]

Hvordan går jeg frem for å løse dette integralet?

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t[/tex]

Hvor [tex]H(t)[/tex] er Heaviside-funksjonen.

[Janhaa]

Hvordan går jeg frem for å løse dette integralet?
[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t[/tex]
Hvor [tex]H(t)[/tex] er Heaviside-funksjonen.

dette er delvis integrasjon;

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,\int H'(t)e^{-t}\,dt=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,\int \delta (t)\cdot e^{-t}\,dt[/tex]

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,H(t)\,+\,C=H(t)\cdot \left(1\,-\,e^{-t}\right)\,+\,C[/tex]
der
[tex]H'(t)=\delta (t)[/tex]
og
[tex]\int \delta (t)\cdot e^{-t}\,dt=H(t)+c[/tex]

[zell]

Takk for svar, prøvde med delvis integrasjon selv, men gjorde tydeligvis en feil på [tex]\int\delta (t)e^{-t}\text{d}t[/tex]

Hvorfor blir det integralet lik [tex]H(t)[/tex]? Jeg utførte nok en delvis på det, med [tex]u^\prime = \delta (t) \ \text{og} \ v = e^{-t}[/tex], får da:

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t = -e^{-t}H(t)+\left[H(t)e^{-t}+\int H(t)e^{-t}\text{d}t\right][/tex] som du jo ser byr på problemer..

[Janhaa]

Takk for svar, prøvde med delvis integrasjon selv, men gjorde tydeligvis en feil på [tex]\int\delta (t)e^{-t}\text{d}t[/tex]
Hvorfor blir det integralet lik [tex]H(t)[/tex]? Jeg utførte nok en delvis på det, med [tex]u^\prime = \delta (t) \ \text{og} \ v = e^{-t}[/tex], får da:
[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t = -e^{-t}H(t)+\left[H(t)e^{-t}+\int H(t)e^{-t}\text{d}t\right][/tex] som du jo ser byr på problemer..

Er ikke sikker, men lurer på om man må bruke konvolusjons-transform eller en eller annen form for transformasjon...
Kanskje noen av matematikerne her kan dette?

[Nebuchadnezzar]

Er vel ikke veldig vanskelig? Tanken er å dele opp integralet siden

$ \hspace{1cm} H(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & t>0 \\ 0 & t<0\end{array} \right.$

Dermed så er funksjonen din

$ \hspace{1cm} H(t)e^{-t} = \left\{ \begin{array}{cc} e^{-t} & t>0 \\ 0 & t<0\end{array} \right.$

Som er enkel å integrere

$ \hspace{1cm}
\int H(t) e^{-t} \mathrm{d}t
= \left\{ \begin{array}{lr} \int 1 \cdot e^{-t}\,\mathrm{d}t = -e^{-t} & , \ t>0 \\ \int 0 \cdot e^{-t}\,\mathrm{d}t = 0 & , \ t<0 \end{array} \right|
= - H(t) e^{-t}
$

Heavyside funksjonen bare kapper funksjonen din. Merk at heavyside funksjonen er udefinert i origo (en kan velge 1/2 men det er juks)

[zell]

Det var slik jeg i utgangspunktet tenkte, men det gir meg ikke korrekt svar på problemet hvor dette inngår. Jeg sjekket også integralet med WolframAlpha og får det samme svaret som Janhaa ga.

[Nebuchadnezzar]

Uttrykkene er like, er bare en konstant som skiller dem. Siden $H(t) + C' = C$.
"Fordelen" med å skrive den antideriverte slik wolfram gjør er at den integrerte
blir kontinuerlig (merk origo). Om dette egentlig er en fordel når funksjonen er diskontinuerlig
får bli en annen diskusjon.

[zell]

Skjønner, takk for svar!