Differensialligning

[modasser]

Hei, kunne noen vennligst vise step by step at dette:

[tex]y^\prime=a(y-r_1)(y-r_2)[/tex]

blir til:

[tex]y=r_1 + \frac{r_2 -r_1}{1+Ce^{(r_2-r_1)at}}[/tex]


?

[Nebuchadnezzar]

Ved å dele på begge sider og integrere får vi

$ \hspace{1cm}
\int \frac{\mathrm{d}y}{(y-r_2)(y-r_1)} = \int a\,\mathrm{d}t
$

Utfør din favoritt-delbrøksteknikk på høyre siden, og integrer. Da fås

$
\frac{1}{r_1 - r_2} \log \left( \frac{y - r_ 1}{y-r_2} \right) = at + \mathcal{C}
$

Klarer du det herfra? Klarer du å fylle inn hullene ovenfor?

[modasser]

Trenger fortsatt hjelp til slutten:

[tex]\frac{1}{r_1 - r_2} \cdot \frac{y - r_ 1}{y-r_2} = e^{at + \mathcal{C}}[/tex]

Kan noen vise step by step hvordan man får y alene?

[Nebuchadnezzar]

Ganger med $r_1 - r_2$ på begge sider og opphøyer i $e$, slik at

$ \hspace{1cm}
\frac{y - r_1}{y - r_2} = e^{at(r_1-r_2)} \cdot e^{\mathcal{C}}
$

Innfører en ny konstant $e^{\mathcal{C}} = C$ og ganger med $y-r_2$ på begge sider

$ \hspace{1cm}
y - r_1 = C e^{at(r_1-r_2)} y - C e^{at(r_1-r_2)} r_2
$

Sammler en leddene med $y$ på høyre siden får en

$ \hspace{1cm}
y\left\{ 1 - C e^{at(r_1-r_2)} \right\} = r_1 - C e^{at(r_1-r_2} r_2
$

For å få samme form som LF sier så deler en på $1 - C e^{at(r_1-r_2)} y$ på begge sider.

$ \hspace{1cm}
y = \frac{ r_1 - r_2 \cdot C e^{at(r_1-r_2)} }{ 1 - C e^{at(r_1-r_2)} }
= \frac{ r_1 }{ 1 - C e^{at(r_1-r_2)}} + \frac{r_2}{1 - C e^{-at(r_1-r_2)} }
$

I siste overgang delte vi opp uttrykket og ganget teller og nevner med $C e^{-at(r_1-r_2)}$.
Uten at det er ekstremt kritisk, eller gjør svaret nevneverdig penere.

EDIT:

$ \hspace{1cm}
y = \frac{ (r_1 -r_2 )+ r_2- r_2 \cdot C e^{at(r_1-r_2)} }{ 1 - C e^{at(r_1-r_2)} }
= r_ 2 + \frac{ r_1 -r_2}{ 1 - C e^{at(r_1-r_2)}}
$

Siden $r_2- r_2 \cdot C e^{at(r_1-r_2)} = r_2 \left( 1 - C e^{at(r_1-r_2)} \right)$

[modasser]

hvorfor har dem satt + foran C i nevneren? Mens du ender opp med - (minus)

[Lektorn]

Når det gjelder konstanter kan du skalte og valte med fortegn som du vil. F.eks. kan du si at -C = D (som er tilfelle her).
Ved løsning av diff-likninger skjer det også ofte at du får e opphøyd i en konstant, og da setter vi bare hele uttrykket til en annen konstant (e^C = D).

[modasser]

skjønner, takker