Integralet 1/X og baklengs kjerneregel? :)

[Johan Nes]

Heisann alle sammen,

Jobber meg gjennom R2 pensum nå om dagen og var overrasket over hvor bra jeg har hengt med så langt, men ble sittende fast på noen oppgaver her som jeg mener ganske bestemt ikke er vist i boken.

Vennligst se her. Kan legge inn TEX om linken ikke fungerer.

http://sinusr2.cappelendamm.no/c388313/ ... tid=343288

Oppgave 1.32 a) og b).

Jeg greier å derivere svarene helt fint. Bruker kjerneregel og derivasjonsregel for ln x. Men jeg skjønner ikke hvordan man finner konstanten (1/1) og (1/2) ved integrasjon.

Skjønner at 1/(2x + 1) blir ln |2x + 1| men skjønner ikke resten.

Noen som skjønner dette?

[Aleks855]

Når du gjør substitusjonen $u = 2x+1$, så må vi også fjerne dx, fordi vi får problemer når vi skal derivere en funksjon av u med hensyn på x.

Bruker at $u' = \frac{du}{dx}$ som gir at $dx = \frac{du}{u'}$

I dette tilfellet har vi $u = 2x+1$ som gir $dx = \frac{du}{2}$

Erstatt dette i det opprinnelige integralet. Ser du når hvor konstantene kommer fra?

[Johan Nes]

Takk, Aleks.

Jeg er litt med, men ikke helt. Har hatt dette for et år tilbake nå, men det har gått litt i glemmeboken.

Tror kanskje det er fordi boken bruker en metode her som først blir introdusert i et senere kapittel? Altså substitusjon?

I så fall legger jeg denne til side til jeg har vært innom den delen.

[Johan Nes]

Men ja, jeg tror jeg er med. Bare ikke 100% før jeg har repetert substitusjonsmetoden.

[Aleks855]

Takk, Aleks.

Jeg er litt med, men ikke helt. Har hatt dette for et år tilbake nå, men det har gått litt i glemmeboken.

Tror kanskje det er fordi boken bruker en metode her som først blir introdusert i et senere kapittel? Altså substitusjon?

I så fall legger jeg denne til side til jeg har vært innom den delen.

Ja, dette spørsmålet blir spurt ganske ofte. Akkurat samme oppgaver. Det er feil at boka har lagt opp til å løse denne oppgaven før man har lært om substitusjon.

Uansett, substitusjon er kanskje den letteste regneregelen for integrasjon, så det er like greit å lære den først som sist.

Har laget videoer av alt av integrasjon for R2 her: http://udl.no/matematikk-blandet/integrasjon

Bruker ordet "variabelskifte" for substitusjon der, men det er samme greia.

[Johan Nes]

Hjertelig, Aleks.

Da er jeg snart helt med.

[Johan Nes]

Hei igjen. Går nå gjennom kapittel 7 i R2 for å se om jeg kan lære meg litt bedre integrasjon før skolestart.

Vennligst se her:

http://sinusr2.cappelendamm.no/c388366/ ... tid=394218

Jeg er usikker på oppgave 7.11 a) og d). b) og c) har jeg løst.

Prøvde å løse d) ved å skrive brøken [tex]\frac{3}{2-x}[/tex] som [tex]3*\frac{1}{2-x}[/tex] og finne integralet på samme måte som b) og c), men det gikk ikke. Hvorfor ikke?

Brukes variabelskifte for å løse a) og d)? Kommer ikke før litt senere i kapittelet, men jeg kjenner ikke igjen hva som skjer.

Takk for svar.

[Aleks855]

Merk at hvis du setter $u=2-x$ så vil $du = -dx$. I b) så vil $du = dx$. Du må passe på denne utbyttingen.

[Johan Nes]

Takk, Aleks.

Men det brukes vel ikke variabelskifte i løsningsforslaget for noen av oppgavene i 7.11?

Oppgavene er i forbindelse med regelen:

[tex]\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)[/tex]

Hvor F er en antiderivert til f og a og b er konstanter.

Jeg skjønner fremgangsmåten på oppgave b) og c), men ikke på oppgave d). Jeg prøver å løse d) slik:

[tex]\int \frac{3}{2-x}dx[/tex]

[tex]\int 3*\frac{1}{2-x}dx[/tex]

[tex]3\int \frac{1}{2-x}dx=3 ln\left | 2-x \right |+ C[/tex]

Og det er jo nesten rett, men det teller jo ikke i matematikken.

Oppgave a) skjønner jeg ikke i det hele tatt.

Takk for tålmodigheten.

[Aleks855]

[tex]\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)[/tex]

I dette tilfellet vil $a=-1$ fordi $a$ er koeffisienten på x-leddet.

Da får du $3\int \frac1{2-x}dx = 3\cdot\frac{1}{-1}\ln|2-x|+C$ som er svaret de er ute etter

[Johan Nes]

[tex]\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)[/tex]

I dette tilfellet vil $a=-1$ fordi $a$ er koeffisienten på x-leddet.

Da får du $3\int \frac1{2-x}dx = 3\cdot\frac{1}{-1}\ln|2-x|+C$ som er svaret de er ute etter

Aha!

Jeg så ikke umiddelbart at a = -x.

Takker, Aleks.

Har du peiling på a)?

[Aleks855]

Seff!

Der ser vi at den indre funksjonen er $2x+1$ som gir a = 2.

Vi vet at $\int e^xdx = e^x+C$ så da får vi at $\int 4e^{2x+1}dx = 4\cdot\frac12e^{2x+1} + C$ som du sikkert ser er ekvivalent med fasitsvaret.

Merk: Alt dette blir mer åpenbart når du lærer om substitusjon, for dette ER faktisk substitusjon. Det er bare en spesiell liten regel som faller ut av det.

[Nebuchadnezzar]

$ \hspace{1cm}
\int 4 e^{2x+1}\,\mathrm{d}x
=4 \int 4 e^{u} \frac{1}{2} \mathrm{d}u
= 2 \int e^{u}\,\mathrm{d}u
= 2 e^{u} + C
= 2e^{2x+1} + C
$

Om du vil være helt pedantisk.
Substitusjon $u=2x+1$, så $\mathrm{d}u = 2\,\mathrm{d}x \ \Rightarrow \ \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$
Og $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x$.

[Lektorn]

Det er feil at boka har lagt opp til å løse denne oppgaven før man har lært om substitusjon.

Det kan være at boka behandler løsning av integral med lineære kjerner (ax+b) før de trekker inn substitusjon.

[Aleks855]

Det er feil at boka har lagt opp til å løse denne oppgaven før man har lært om substitusjon.

Det kan være at boka behandler løsning av integral med lineære kjerner (ax+b) før de trekker inn substitusjon.

Godt poeng. Men jeg liker likevel ikke at de går rundt selve substitusjonskonseptet. Integrering av indre lineære funksjoner er jo uansett bare en "gren" av substitusjonsprinsippet. Og det hadde gitt mer mening hvis man allerede kjenner til substitusjon.