Integrasjonsteknikker i R2?

[ThomasSkas]

Hei, da vi startet i VG3 nå i august, så byttet skolen bøker i matematikk. Vi gikk fra Sigma serien, til Sinus/Cosinus bøkene, noe jeg synes er veldig dårlig, men får ikke gjort noe med det.
Uansett, det dumme, er at Sinus R2 har delt integrasjonsdelen i to kapitler, hvor det første kapitellet i boka er integralregning, mens det nest siste kapitellet er integrasjonsmetoder. Og jeg har sett bitte litt på integrasjonsmetodedelen, og ser at det er noen metoder som heter variabelskifte, delvis integrasjon og delbrøkoppspalting. Det som er dumt er at i oppgavedelen så dukker det opp noen ganger funksjoner som man skal integrere, og man ser at de viker litt unna av hva som er gjennomgått i teoridelen. Så, det jeg gjør, er at jeg integrerer dem ved å kjenne igjen mønstre fra tidligere kurs, noe jeg tror er meningen på disse oppgavene akkurat i begynnelsen, for så å bruke reglene ovenfor etter hvert?

Her er noen eksempler jeg tenker på:

[tex]\int 3^{x+1}dx=\int 3^x\cdot 3^1=3\int 3^x=3*\frac{1}{ln(3)}3^x+C=\frac{3\cdot 3^x}{ln 3}+C[/tex]

Noen lettere måte å tenke på enn dette? Jeg kommer på slike ting når jeg ser den blir litt mer komplisert enn andre funksjoner, og dermed bruker jeg ting jeg kan fra før av.

[Nebuchadnezzar]

Tja jeg liker sinus godt. Integrasjonsregning er kanskje noe annerledes enn
tidligere emner innen R2. Hvorpå før du slavisk fulgte regneregler og fremgangsmåter
går integrasjon litt mer på magefølelse, tidligere erfaring og mye utforskelse.

Trenger du flere oppgaver anbefaler jeg deg en rask titt på oppgavene på side 1 - 6
Hakket mer kreative enn oppgavene i boken, uten å være spesielt mye vanskeligere.

http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Inte ... boken3.pdf

Det er derfor svært viktig at du regner mange oppgaver for å lære hva som fungerer hvor.
På den konkrete oppgaven din er fremgangsmåten din helt grei, den funker! Om enn noe slavisk

Jeg ville nok skrevet det som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int 3^{1 + x} \,\mathrm{d}x = 3^{1+ x} / \log 3 + \mathcal{C}
$

Siden jeg vet at $\int a^x \,\mathrm{d}x = a^{x} / \log a + \mathcal{C}$ og en ekstra konstant påvirker ikke integrasjonen
(siden den er konstant..) Ellers fungerer også substitusjon her (som er en vital teknikk du skal lære).

Hva får du om du bruker substitusjon?

[ThomasSkas]

Tja jeg liker sinus godt. Integrasjonsregning er kanskje noe annerledes enn
tidligere emner innen R2. Hvorpå før du slavisk fulgte regneregler og fremgangsmåter
går integrasjon litt mer på magefølelse, tidligere erfaring og mye utforskelse.

Trenger du flere oppgaver anbefaler jeg deg en rask titt på oppgavene på side 1 - 6
Hakket mer kreative enn oppgavene i boken, uten å være spesielt mye vanskeligere.

http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Inte ... boken3.pdf

Det er derfor svært viktig at du regner mange oppgaver for å lære hva som fungerer hvor.
På den konkrete oppgaven din er fremgangsmåten din helt grei, den funker! Om enn noe slavisk

Jeg ville nok skrevet det som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int 3^{1 + x} \,\mathrm{d}x = 3^{1+ x} / \log 3 + \mathcal{C}
$

Siden jeg vet at $\int a^x \,\mathrm{d}x = a^{x} / \log a + \mathcal{C}$ og en ekstra konstant påvirker ikke integrasjonen
(siden den er konstant..) Ellers fungerer også substitusjon her (som er en vital teknikk du skal lære).

Hva får du om du bruker substitusjon?

Substitusjon og derivasjon er jeg veldig godt trent på fra R1, men det har jeg ikke tenkt på i forbindelse med integrasjon, for i derivasjon, er det å substituere et uttrykk med f. eks U, og deretter derivere kjernen og multiplisere med original kjerne, altså kjerneregelen. Jeg prøver såi dette tilfellet er [tex]U=x+1[/tex] ?

så da tenker jeg meg at [tex]\int 3^{x+1}dx=\int 3^udx=\frac{1}{ln 3}\cdot 3^u=\frac{1}{ln3}\cdot 3^{x+1}[/tex]

Nå stoppet jeg litt i et sekund, men kom på at [tex]\frac{3^{x+1}}{ln3}\Leftrightarrow \frac{3\cdot 3^{x}}{ln3}[/tex] fordi [tex]3^{x+1}\Leftrightarrow 3\cdot 3^{x}=3^{x}\cdot 3^{1}=3^{x+1}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Stemmer det, men merk at vi må og integrere med tanke på $u$ og ikke $x$, så vi må
finne en sammenheng mellom $\mathrm{d}u$ og $\mathrm{d}x$. Den enkleste og også "feileste"
måten er å si at $u = x + 1$ så $\frac{\mathrm{d}u}{dx} = 1$, ganger vi med $\mathrm{d}x$ på
begge sider fås $\mathrm{d}x = \mathrm{d} u$. Så som sagt før vil en lineær substitusjon bare skifte integrasjons
området, ikke "strekke" det. (En kan grovt tenke på $\mathrm{d}u$ og $\mathrm{d}x$ som små lengder
i $x$-retningen / den horisontale retningen)

http://math.stackexchange.com/questions ... bstitution

http://math.stackexchange.com/questions ... ot-a-ratio

http://mathoverflow.net/questions/73492 ... a-fraction

Derimot om en hadde hatt $\int (2x+3)^3 \,\mathrm{d}x$ som en skulle integrert ville vi fått nesten
det samme. Siden vi vet at $\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \, n \neq -1$ så virker
det fristende å sette $u = 2x + 3$. Deriverer vi nå for igjen å finne sammenhengen mellom $\mathrm{d}x$ og
$\mathrm{d}u$ får vi $u' = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2$. Altså er $\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d} u$
Innsatt fås da

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int (2x+3)^3 \,\mathrm{d}x
= \int u^3 \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}u
= \frac{1}{3+1}u^{3+1} \cdot \frac{1}{2} + \mathcal{C}
= \frac{1}{8} (2x+3)^3 + \mathcal{C}
$

[Johan Nes]

Så vidt jeg vet, er det bare denne http://www.matematikk.net/matteprat/vie ... 13&t=36968 oppgaven som ikke kan løses med de integrasjonsteknikkene du lærer i første kapittel. Er nok bare det at det er litt vanskeligere.

Grunnen til at de venter med resten av integrasjonsteknikkene tror jeg har med at du ikke har lært å derivere de trigonometriske funksjonene enda. Men sånn sett kunne man jo egentlig gått rett på trigonometri og så samlet integrasjonen i et eget kapittel.

Ellers trodde jeg at Sigma var langt mer sparsommelige på eksempler enn hva Sinus er? I tillegg finner du jo komplette løsningsforslag på nettet til Sinus, så det er jo egentlig teskjemating.

Om du liker Sigma bedre, så kan du jo alltids kjøpe et eksemplar. Sikkert ikke rare prisen om du kjøper brukt på Finn.

[Lektorn]

Jeg benytter Sinus i R2 og underviser kapitlene i rekkefølgen 1-2-3-7-8-4-5-6. Dette fungerer veldig bra.

Det er forøvrig flere grunner til at jeg stokker om på kapitlene men det som er tema i denne tråden er en av årsakene.

[ThomasSkas]

Jeg benytter Sinus i R2 og underviser kapitlene i rekkefølgen 1-2-3-7-8-4-5-6. Dette fungerer veldig bra.

Det er forøvrig flere grunner til at jeg stokker om på kapitlene men det som er tema i denne tråden er en av årsakene.

Virker helt logisk og bra den rekkefølgen der, uten tvil.
Takk for innspill alle sammen!