Har tre spørsmål, og så skal jeg gi meg.
1) For hvilke verdier a danner de følgende vektorene i R[sup]3[/sup] et lineært uavhengig sett?
u=(a, -1/2, -1/2)
v=(-1/2, a, -1/2)
w=(-1/2, -1/2, a)
2) Is the set of polynomails whose degree is exactly 1 a vectorspace under the standard operations? Explain.
3) Prove that a set with exactly two vectors is linearly independent if and only if neither vector is a scalar multiple of the other.
Lineær uavhengighet, vektorrom og et bevis
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
u, v, w er lineært uavhengige hvis likningen
c1u+c2v+c3w=0 har bare den trivielle løsningen c1=c2=c3=0.
Du må altså se på følgende linkningssystemet:
ac1-1/2c2-1/2c3=0
-1/2c1+ac2-1/2c3=0
-1/2c1-1/2c2+ac3=0
Du kan for eksempel sette opp en matrise og rekkeredusere for å løse systemet.
(vektorene er lineært uavhengige er ekvivalent med at matrisen er invertibel).
Etter at jeg har rekkeredusert matrisen fikk jeg de følgende tre ledd på hoveddiagonalen:
-2a
(1-2a)(1+2a)
4a(2a+1)(1-a)
For at vektorene skal være lineært uavhengige (altså matrisen invertibel), må alle tre være ulik 0.
Det betyr at for alle verdiene av a, unntatt for a=0, a=1/2, a=-1/2, a=1
er vektorene lineært uavhengige
c1u+c2v+c3w=0 har bare den trivielle løsningen c1=c2=c3=0.
Du må altså se på følgende linkningssystemet:
ac1-1/2c2-1/2c3=0
-1/2c1+ac2-1/2c3=0
-1/2c1-1/2c2+ac3=0
Du kan for eksempel sette opp en matrise og rekkeredusere for å løse systemet.
(vektorene er lineært uavhengige er ekvivalent med at matrisen er invertibel).
Etter at jeg har rekkeredusert matrisen fikk jeg de følgende tre ledd på hoveddiagonalen:
-2a
(1-2a)(1+2a)
4a(2a+1)(1-a)
For at vektorene skal være lineært uavhengige (altså matrisen invertibel), må alle tre være ulik 0.
Det betyr at for alle verdiene av a, unntatt for a=0, a=1/2, a=-1/2, a=1
er vektorene lineært uavhengige
-
Zabriskie
Fasiten sier a = -1/2 eller 1..
Dessuten, jeg får ikke til å rekkeredusere den, det blir bare kluss.
Noen som kan hjelpe meg med de to siste også?
Dessuten, jeg får ikke til å rekkeredusere den, det blir bare kluss.
Noen som kan hjelpe meg med de to siste også?
3) Vi viser det ekvivalente:
En mengde med to vektorer er lineært avhengig hvis og bare hvis en vektor er et skalar multiplum av den andre.
La v1 og v2 betegne de to vektorene.
Anta at v1 og v2 er lineært avhengige.
La c1 og c2 være skalarer slik at c1v1+c2v2=0. Siden v1 og v2 er lineært avhengige, vet vi at minst en av c1 og c2 er ulik 0. La oss si at c1 er ulik 0.
Da er v1=-c2/c1*v2 og v1 er et skalar multiplum av v2.
Anta nå at den ene vektoren er er skalar multiplum av de andre, la oss si at
v1=kv2. Da har vi at v1-kv2=0, dermed har likningen
c1v1+c2v2=0 en ikke-triviell løsning og v1 og v2 er lineært avhengige.
En mengde med to vektorer er lineært avhengig hvis og bare hvis en vektor er et skalar multiplum av den andre.
La v1 og v2 betegne de to vektorene.
Anta at v1 og v2 er lineært avhengige.
La c1 og c2 være skalarer slik at c1v1+c2v2=0. Siden v1 og v2 er lineært avhengige, vet vi at minst en av c1 og c2 er ulik 0. La oss si at c1 er ulik 0.
Da er v1=-c2/c1*v2 og v1 er et skalar multiplum av v2.
Anta nå at den ene vektoren er er skalar multiplum av de andre, la oss si at
v1=kv2. Da har vi at v1-kv2=0, dermed har likningen
c1v1+c2v2=0 en ikke-triviell løsning og v1 og v2 er lineært avhengige.
Fant den nå :D Når du rekkereduser, må du skjelne en gang om a er lik eller ulik 0 og en gang om a er lik eller ulik 1/2 (Når du rekkereduser må du passe på at du ikke ganger en rekke med 0).
Jeg anbefaler deg å sette opp matrisen og så prøve å rekkeredusere den.
2) Mener du med "degree exactly one" de polynomene av formen ax hvor a er en skalar (altså uten konstantledd)??
Jeg anbefaler deg å sette opp matrisen og så prøve å rekkeredusere den.
2) Mener du med "degree exactly one" de polynomene av formen ax hvor a er en skalar (altså uten konstantledd)??
