Rekker og Følger

[ThomasSkas]

Hei, driver på med slikt nå, og trenger bekreftelser/eventuelt hjelp på oppgaver.

Jeg legger ved "screenshot", tror det er mye enklere.

a) $500\cdot {0.93}^3=402.178\approx 402.1$

Riktig?

b) Det er bare å forklare ved å se på leddene og ta for seg hvert døgn, og legge til at det er ei geometrisk rekke. Kort fortalt

c) Da brukte jeg bare summeformelen for ei geometrisk rekke.

d) Jeg gjorde følgende:

$S_{\mathrm{\infty }}=500\cdot \frac{{0.93}^{\mathrm{\infty }}-1}{0.93-1}$

$S_{\mathrm{\infty }}=500\cdot \frac{0-1}{0.93-1}=7142.86\approx 7143$

Stemmer?

så, e), den jeg er mest usikker på og som jeg grubla litt på for å finne en strategi

Tenkte slik:

Jeg vet at det er 10 utslipp, som tilsvarer en totalmengde på 5900 kg. Da må det jo bety at summen av alle disse ti utslippene er lik 5900 kg, altså summen av den geometriske rekka. Etter fram og tilbake, så gikk jeg for å gå ut ifra at det med at 7 % forsvinner av forskjellige grunner gjelder uansett mengde. Da satte jeg det opp slik, og løste det på kalkulatoren:


Stemmer dette også? Fasiten sier her og 800 kg

Og er det i så fall en lettere metode her?

Tusen takk, folkens!

[ThomasSkas]

Legger ved en etterfølger også:

To jenter setter i gang en en kjedebrevaksjon. De sender brev til to av sine venner og ber dem sende brevet videre til to venner hver.
Mottakeren av kjedebrevet får to dager på å sende brevet videre. Vi regner at alle følger opp, og at postgangen tar to dager i hvert tilfelle.
Hvor mange dager går det fra aksjonen begynner til 2 millioner brev er sendt?

Jeg tror fasiten sa 76 dager.

Det jeg ikke skjønner med denne, er nemlig det jeg tenker meg at dette er ei geometrisk rekke, med kvotienten 2.
For jeg tenkte at rekken ble: 2+4+6+8...... geometrisk, uendelig.
Men kommer ikke videre.

[ThomasSkas]

Legger ved en etterfølger også:

To jenter setter i gang en en kjedebrevaksjon. De sender brev til to av sine venner og ber dem sende brevet videre til to venner hver.
Mottakeren av kjedebrevet får to dager på å sende brevet videre. Vi regner at alle følger opp, og at postgangen tar to dager i hvert tilfelle.
Hvor mange dager går det fra aksjonen begynner til 2 millioner brev er sendt?

Jeg tror fasiten sa 76 dager.

Det jeg ikke skjønner med denne, er nemlig det jeg tenker meg at dette er ei geometrisk rekke, med kvotienten 2.
For jeg tenkte at rekken ble: 2+4+6+8...... geometrisk, uendelig.
Men kommer ikke videre.

Anyone? Denne er den jeg lurer mest på

[Aleks855]

Jeg tror du vil merke at 2, 4, 6, 8... er feil hvis du tester et par steg.

Du starter med to brev hver. Totalt: 4.

Hver av mottakerne sender 2 hver. Totalt 4+8.

Hver av de 8 nye mottakerne sender 2 hver. Totalt: 4+8+16.

Ser du mønsteret?

$2^2+2^3+2^4+\dots =\sum _{i=2}^n{2}^i$

Du har likevel tenkt riktig at rekka er geometrisk med kvotient 2.

[ThomasSkas]

Jeg tror du vil merke at 2, 4, 6, 8... er feil hvis du tester et par steg.

Du starter med to brev hver. Totalt: 4.

Hver av mottakerne sender 2 hver. Totalt 4+8.

Hver av de 8 nye mottakerne sender 2 hver. Totalt: 4+8+16.

Ser du mønsteret?

$2^2+2^3+2^4+\dots =\sum _{i=2}^n{2}^i$

Du har likevel tenkt riktig at rekka er geometrisk med kvotient 2.

Det virker mye mye mer logisk når du sier det på den måten.
Jeg prøvde så å løse den, altså finne hvor mange dager det tar, likevel kommer jeg ikke fram.
$S_n=a_1\cdot \frac{k^n-1}{k-1}$

$2.0\cdot {10}^6=2^2\cdot \frac{2^n-1}{2-1}$

Løser på hensyn med n, og får at n = 18.93, altså 19.
Det jeg tenker her, er at nå siden vi har tenkt ut rekka (du gjorde) så har jeg leddene, og vet at summen skal være 2 millioner brev. Det eneste jeg mangler da, er antall ledd, som tilsvarer dagene? Videre er rekken også geometrisk.

Forklaringen din gjorde at jeg skjønte teksten, men teksten gjør at jeg ikke ser helt med hvem starter rekken med. De to jentene starter med å sende til to av sine venner. Betyr det to venner per jente, altså fire venner sammenlagt i starten?

[Aleks855]

Jeg tror du vil merke at 2, 4, 6, 8... er feil hvis du tester et par steg.

Du starter med to brev hver. Totalt: 4.

Hver av mottakerne sender 2 hver. Totalt 4+8.

Hver av de 8 nye mottakerne sender 2 hver. Totalt: 4+8+16.

Ser du mønsteret?

$2^2+2^3+2^4+\dots =\sum _{i=2}^n{2}^i$

Du har likevel tenkt riktig at rekka er geometrisk med kvotient 2.

Det virker mye mye mer logisk når du sier det på den måten.
Jeg prøvde så å løse den, altså finne hvor mange dager det tar, likevel kommer jeg ikke fram.
$S_n=a_1\cdot \frac{k^n-1}{k-1}$

$2.0\cdot {10}^6=2^2\cdot \frac{2^n-1}{2-1}$

Løser på hensyn med n, og får at n = 18.93, altså 19.
Det jeg tenker her, er at nå siden vi har tenkt ut rekka (du gjorde) så har jeg leddene, og vet at summen skal være 2 millioner brev. Det eneste jeg mangler da, er antall ledd, som tilsvarer dagene? Videre er rekken også geometrisk.

Forklaringen din gjorde at jeg skjønte teksten, men teksten gjør at jeg ikke ser helt med hvem starter rekken med. De to jentene starter med å sende til to av sine venner. Betyr det to venner per jente, altså fire venner sammenlagt i starten?

Jeg tenkte dithen at to jenter sender to brev hver. Altså starter rekka med 4. Disse 4 sender to hver, som blir 8 brev. Da er det sendt totalt 12 brev. Rinse and repeat.

Nå klarte ikke jeg å formulere en fin løsningsstrategi, men jeg tenkte at summen vil øke veldig raskt, og nå 2mill. i løpet av ikke veldig lenge, så jeg skrev følgende Python-kode:

Code: Select all

x = 0

for i in range(2, 1000):
    x += math.pow(2, i)
    if(x >= 2000000):
        print(i)
        print(x)
        break;

Det den gjør er å bare summere rekka helt til den får en totalsum som er større enn, eller lik 2mill.

Den viser følgende;

Code: Select all

20
2097148.0

Altså at etter 20 ledd, så har 2097148 brev blitt sendt.

Det kan tenkes at fasiten er feil, eller at vi har feiltolket oppgaven.

[ThomasSkas]

Jeg tror du vil merke at 2, 4, 6, 8... er feil hvis du tester et par steg.

Du starter med to brev hver. Totalt: 4.

Hver av mottakerne sender 2 hver. Totalt 4+8.

Hver av de 8 nye mottakerne sender 2 hver. Totalt: 4+8+16.

Ser du mønsteret?

$2^2+2^3+2^4+\dots =\sum _{i=2}^n{2}^i$

Du har likevel tenkt riktig at rekka er geometrisk med kvotient 2.

Det virker mye mye mer logisk når du sier det på den måten.
Jeg prøvde så å løse den, altså finne hvor mange dager det tar, likevel kommer jeg ikke fram.
$S_n=a_1\cdot \frac{k^n-1}{k-1}$

$2.0\cdot {10}^6=2^2\cdot \frac{2^n-1}{2-1}$

Løser på hensyn med n, og får at n = 18.93, altså 19.
Det jeg tenker her, er at nå siden vi har tenkt ut rekka (du gjorde) så har jeg leddene, og vet at summen skal være 2 millioner brev. Det eneste jeg mangler da, er antall ledd, som tilsvarer dagene? Videre er rekken også geometrisk.

Forklaringen din gjorde at jeg skjønte teksten, men teksten gjør at jeg ikke ser helt med hvem starter rekken med. De to jentene starter med å sende til to av sine venner. Betyr det to venner per jente, altså fire venner sammenlagt i starten?

Jeg tenkte dithen at to jenter sender to brev hver. Altså starter rekka med 4. Disse 4 sender to hver, som blir 8 brev. Da er det sendt totalt 12 brev. Rinse and repeat.

Nå klarte ikke jeg å formulere en fin løsningsstrategi, men jeg tenkte at summen vil øke veldig raskt, og nå 2mill. i løpet av ikke veldig lenge, så jeg skrev følgende Python-kode:

Code: Select all

x = 0

for i in range(2, 1000):
    x += math.pow(2, i)
    if(x >= 2000000):
        print(i)
        print(x)
        break;

Det den gjør er å bare summere rekka helt til den får en totalsum som er større enn, eller lik 2mill.

Den viser følgende;

Code: Select all

20
2097148.0

Altså at etter 20 ledd, så har 2097148 brev blitt sendt.

Det kan tenkes at fasiten er feil, eller at vi har feiltolket oppgaven.

Aha, skjønner. Er forøvrig en oppgave fra S2 boka om rekker og følger, og synes den egentlig er merkelig, spesielt etter å ha lest http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 13&t=37412 hvor oppgaven ble diskutert. Der blir det gitt en løsning, men får ikke hodet mitt rundt om den stemmer eller ei.

[Aleks855]

Ah, det skal nevnes at jeg ikke tok hensyn til postgangforsinkelsen, men jeg tror likevel jeg har ordlagt meg rett ved å bruke "ledd". Jeg får uansett ikke 76 til å stemme.

[jhoe06]

Antall brev sendt etter $4n$ dager er gitt ved

$$4\sum _{i=0}^n{2}^i=4(2^{n+1}-1)$$.

Vi ønsker å finne minste heltall $n$ slik at uttrykket over er større enn eller lik 2 millioner. Får dermed at

$$n=\lceil {\log }_2(\frac{2\cdot {10}^6}{4}+1)-1\rceil =18$$

Dette er i grunn samme svar som Aleks fikk, bare at han glemte å trekke 2 fra indeksen etter at han hadde funnet svaret, og fikk dermed 20.

Med 2 dagers postgang og 2 dager for sending av nye brev gir dette $4n=72$ dager.

[Lektorn]

Matematikken i trådstarters svar er korrekt:
Bruk generell formel for sum av leddene i en geometrisk rekke og fyll inn med første ledd lik 4 og kvotient lik 2.
Løsningen av eksponentiallikningen gir da n=19.

Det som er "trikset" med løsningen ift. fasit er at hvert ledd i kjeden tar 4 dager (2 dagers postgang pluss at hvert ledd bruker 2 dager på å sende videre). Dermed blir antall dager 4*19=76.

[jhoe06]

Matematikken i trådstarters svar er korrekt:
Bruk generell formel for sum av leddene i en geometrisk rekke og fyll inn med første ledd lik 4 og kvotient lik 2.
Løsningen av eksponentiallikningen gir da n=19.

Det som er "trikset" med løsningen ift. fasit er at hvert ledd i kjeden tar 4 dager (2 dagers postgang pluss at hvert ledd bruker 2 dager på å sende videre). Dermed blir antall dager 4*19=76.

Dette viser bare hvor viktig det er å lese oppgaveteksten godt... her er vi tre stykker som alle ignorerer tiden det tar for hver person å sende brev videre. Jeg har endret mitt tidligere innlegg for å ta hensyn til dette.

Som den kverulanten jeg er mener jeg dog at svaret burde være 72 dager. Det blir tross alt spurt om hvor mange dager det tar (fra aksjonen startes) til minst 2 millioner brev er sendt. Merk at brev i første ledd i rekken er sendt etter 0 dager, at brev i andre ledd er sendt etter 4 dager, brev i tredje ledd er sendt etter 8 dager osv. . Å si at minst 2 millioner brev er sendt etter 19 ledd betyr dermed at de er sendt etter $4\cdot (19-1)=72$ dager.

[Brahmagupta]

Som den kverulanten jeg er mener jeg dog at svaret burde være 72 dager. Det blir tross alt spurt om hvor mange dager det tar (fra aksjonen startes) til minst 2 millioner brev er sendt. Merk at brev i første ledd i rekken er sendt etter 0 dager, at brev i andre ledd er sendt etter 4 dager, brev i tredje ledd er sendt etter 8 dager osv. . Å si at minst 2 millioner brev er sendt etter 19 ledd betyr dermed at de er sendt etter $4\cdot (19-1)=72$ dager.

Jeg er enig med deg i dette, kom selv også fram til 72! Det er dog mulig å tolke oppgaveteksten dit hen at de to jentene som
starter det hele sender 2 brev til sammen. Dette ville gitt fasitsvaret 76 dager. Men det er nok mer naturlig å tolke det slik at
de sender to brev hver.

[Lektorn]

Så konklusjonen er at oppgaven er dårlig formulert.
Det skal/bør ikke være rom for å diskutere hva oppgavestiller egentlig mener...

[Brahmagupta]

Så konklusjonen er at oppgaven er dårlig formulert.
Det skal/bør ikke være rom for å diskutere hva oppgavestiller egentlig mener...

Absolutt enig i dette! Jeg fant også et lite usikkerhetsmoment rundt formuleringen:
"Mottakeren av kjedebrevet får to dager på å sende brevet videre." Det er ikke ut i fra dette gitt
at brevet sendes akkurat etter to dager. Det kan sendes umiddelbart videre eller etter en dag.
Her er den mest naturlige tolkningen å si at brevet sendes videre etter 2 dager, men synes likevel
at dette burde presiseres.