Kontinuitet

[Jack the Ripper]

Hei, jeg har spørsmål angående disse oppgavene:
Stemmer det at på a så vil rekken konvergere mot 4/5 eller er det helt på jordet?
Og på b skjønte jeg ikke helt om man skal sette x1=3 i likningen og se hva den går mot? Eller om det er noe helt annet man skal gjøre

Takker for alle innspill

Skjermbilde.PNG (21.67 kiB) Vist 2353 ganger

[Flabbrø]

a): Dersom følgen konvergerer, så går [tex]x_n[/tex] og [tex]x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{5}[/tex] mot det samme. Dette gir en andregradsligning.

[Jack the Ripper]

Altså at hvis Xn = 2 så vil den konvergere mot 2? Eller misforstod jeg?

[Flabbrø]

Følgen din er denne: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ldots$. Men den kan også uttrykkes slik: $x_1,\frac{x_1^2+4}{5},\frac{x_2^2+4}{5},\frac{x_3^2+4}{5},\frac{x_4^2+4}{5},\ldots$.

Det betyr at $\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n^2+4}{5}$.

[Jack the Ripper]

Men vil ikke når Xn går mot uendelig føre til at vi får 0^2+4/5 som gir svaret 4/5?

[Flabbrø]

$x_n$ går ikke mot uendelig, $n$ går mot uendelig. Hva $x_n$ er avhenger av hva $x_1$ er.

Jeg tar med et eksempel på en annen følge for å illustrere det første poenget. La $x_n=1+\frac{1}{n}$. Da er $\lim_{n\to\infty}x_n=1$, dvs. ikke $\infty$.

[Jack the Ripper]

Så xn+1 =xn^2+4/5 vil gi -> xn1^2-(5xn+1)+4=0

[Flabbrø]

Utgangspunktet er at
$x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{5}$.

Tar vi grensen på begge sider, får vi at
$\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n^2+4}{5}=\frac{(\lim_{n\to\infty}x_n)^2+4}{5}$.

Vi setter $a=\lim_{n\to\infty}x_n$. Siden $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n$, gir dette
$a=\frac{a^2+4}{5}$.

Dette er en andregradsligning som kan løses med hensyn på $a=\lim_{n\to\infty}x_n$.