Halveringslinje og forhold

[hallapaadeg]

Har en oppgave her, skal vise at:

[tex]\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}[/tex]

Dette er under halveringslinjer i R1 og det står følgende at;

"Du har nå bevist denne setningen om halveringslinja for en vinkel i en trekant:
Halveringslinja i en trekant deler motstående side i et forhold som er lik forholdet mellom de to andre sidene i trekanten"

Denne regelen står ikke i boken og jeg finner ikke noe særlig informasjon om den på nettet.

Jeg har forsøkt å bruke de kongruente trekantene som oppstår med skjæringspunktet mellom halveringslinjer fra alle vinkler, men det blir tungvint og jeg tviler på at det er hensikten med denne oppgaven.

Noen som kan gi meg et hint eller en løsning?

[Brahmagupta]

Det er flott at du har med figurerer når du legger ut problemene!

Her er en ganske vanlig fremgangsmåte for å vise dette resultatet.
Det vi ønsker å vise er at $CD$ halverer $\angle{ACB}$ hvis og bare hvis $\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB}$
(dette er den vanligste formen å ha forholdsrelasjonen på).
Konstruer en linje gjennom $A$ parallell med $BC$ og forleng $CD$ slik at den skjærer linja i et punkt $E$.
Nå er har vi at $\triangle{ADE}\sim\triangle{BCD}$ så $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CB}$.

Videre er $AE=AB$ hvis og bare hvis $\triangle{ACE}$ er likebeint eller $\angle{ACE}=\angle{AEC}$. På grunn
av formlikheten har vi at $\angle{ECB}=\angle{AEC}$ så dette reduseres til at $\angle{ACE}=\angle{BCE}$ som
nettopp er tilfelle når $CD$ halverer $\angle{ACB}$. Fra dette kan vi konkludere med at $\angle{ACD}=\angle{BCD}$
hvis og bare hvis $\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB}$.