sirkellikning og linje

[hallapaadeg]

Hei... Mulig dette er et dumt spørsmål, men trenger noen tips til dette med sirkellikninger.

Jeg har sirkellikningen [tex](x-7)^{2} + (y+1)^{2} = 25[/tex] og linjen [tex]y = -\frac{3x}{4} + \frac{21}{2}[/tex]

Oppgaven er å finne punkter der linjen treffer sirkelen. Å gange ut [tex](x-7)^{2} + ((-\frac{3x}{4} + \frac{21}{2}) + 1)^{2} = 25[/tex] for å til slutt finne punktet (10,3) tar jo ganske lang tid. dessuten er det stor sjangs for å begynne å surre litt mdit inni utregningen og dermed risikere å bruke ennå lenger tid.

Finnes det noen godkjente snarveier utenom digitale hjelpemidler man kan ta i bruk for å gjøre dette litt kjappere, evt se løsningen på forhånd slik at jeg kan se underveis om ting er i ferd med å gå galt?

[claves]

Tegne for hånd? Da får du i hvert fall noen omtrentlige løsninger.

[Vaktmester]

Tja.

Det kan muligens være et lite hakk enklere å regne ut $(x-7)^{2} + (y+1)^{2} = 25$ først. Da får du $x^2 - 14 x +y^2 +2y + 50 = 25$. Så må du bare sette inn $y$ og $y^2$ (som du må regne ut) og så har du en ligning med bare x som ukjent. Ikke kjempemye lettere, men kanskje litt...

[Lektorn]

Det er kanskje litt av poenget med slike oppgaver at det skal være litt jobbing for å komme frem til svaret.

[Nebuchadnezzar]

Hei... Mulig dette er et dumt spørsmål, men trenger noen tips til dette med sirkellikninger.

Jeg har sirkellikningen [tex](x-7)^{2} + (y+1)^{2} = 25[/tex] og linjen [tex]y = -\frac{3x}{4} + \frac{21}{2}[/tex]

Ønsker at $y+1$ skal være heltall, kan jo være likninga går opp ellers og men det er en rimelig antakelse.
Grunnen er at sirkellikningen har heltall som radius så brøker blir litt vanskelig. Siden $y = -\frac{3x}{4} + \frac{21}{2}$ så er $y+1 = -\frac{3x}{4} + \frac{23}{2}=(46-3x)/4$, raskt kan vi se at $x=2$, $x=6$ og $x=10$ gjør at $y+1$ er heltall, hvorfor?

Setter vi inn henholdsvis $x=2$ og $x=7$ fås ikke null. Mens $x=10$ og vi er ferdige. Tegning eller derivasjon
viser at $x=10$ er den eneste løsningen siden linja tangerer sirkelen.

Alternativt har vi at $y+1 = (46-3x)/4$ S setter vi dette inn fås

$ \hspace{1cm}
(x-7)^2+ \left( \frac{46-3x}{4} \right)^2 = 25
\ \Rightarrow \
4^2 (x-7)^2 + (46-3x)^2 = 25 \cdot 4^2
$

Som burde være en enkel andregradslikning for deg å løse.