Derivasjon med figur

[andton]

Hei, jeg trenger hjelp til denne oppgaven:

Gitt en halvsirkel med radius 8.
Et rektangel er innskrevet i halvsirkelen slik figuren viser:



1) Kall rektanglets høyde x og finn rektanglets areal uttrykt ved x.
2) Finn sidene i rektanglet når arealet har sin største verdi.
3) Finn på tilsvarende måte sidene i rektanglet når omkretsen har sin største verdi.


Jeg prøvde meg og gjorde følgende:

1) Siden det er 8 cm til hver side, dannet jeg meg en likebeint trekant og fant lengden (y) av rektanglet.

8^2+8^2 = y^2

y= 8√2


Siden arealet av et rektangel er lengde*bredde ble det følgende:

A(x)= x*8√2

(Fasiten fikk et svar på 2x√(64-x^2). Kan noen hjelpe meg til å forklare hvordan de kom fram til dette?)


2) Siden vi nå skal finne sidene så arealet har sin største verdi må vi derivere.

A'(x) = 1*8√2 = 8√2.

Lengden til rektanglet er dermed = 8√2

Bredden til rektanglet
= 8^2 = x^2 + (1/2 8√2)^2
= 64 = x^2 + (4√2)^2
= 64 = x^2 + 32

x = √32 = 4√2

Lengden til rektanglet er 8√2
Bredden til rektanglet er 4√2

3) Her står jeg virkelig fast.

[Lektorn]

1)
Måten du har funnet y på gjelder ikke generelt for likebeinte trekanter, bare hvis toppvinkelen er 90 grader (hvis du har brukt pytagoras).
Du kan gjerne bruke pytagoras her men da til å finne avstanden fra sentrum av sirkelen ut til det ene hjørnet. Med pytagoras blir denne [tex]\sqrt{8^{2} - x^{2}}[/tex].
Det betyr at lengden av rektangelet blir 2* denne avstanden, som gir en funksjon for arealet:
[tex]A(x) = 2 x \sqrt{8^{2} - x^{2}}[/tex]

3) Når du nå har et x-uttrykk for både høyde og lengde kan du lage en funksjon for omkretsen:
[tex]O(x) = 2 (h + l)[/tex]