Hei.
Skriver en matematikkrapport ang. Fourier-rekker. I kapittelet om Fourier-rekker er det nevnt noe om ortogonalitet, men forstår ikke hvorfor det egentlig er nevnt. Delkapittelet ang. ortogonalitet er kun på en side, og inneholder bevis på at intergralet av cos(mwt)*cos(nwt) er ortogonale og samme for sinus. Hva er egentlig hensikten?
Takk for svar.
Fourier-rekker og ortogonalitet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ortogonalitet er helt fundamentalt for forståelsen av Fourierrekker. Du jobber da i indreproduktrom (indreprodukt definert ved et integral) med en ortogonal basis av funksjoner (F.eks. er mengden $\{cos(nx), sin(nx)\}_{n\in \mathbb{N}}$ et trigonometrisk system(ortogonal basis) for rommet av reelle funksjoner definert på et intervall(i R) av lengde $2\pi$). Deretter uttrykker man generelle periodiske funksjoner som en (mulig uendelig) lineærkombinasjon av basisfunksjoner.
Begrepet ortogonalitet er brukt fordi det er en naturlig analogi med prikkproduktet mellom vektorer i $\mathbb{R}^2$. To vektorer ulik 0-vektoren i $\mathbb{R}^2$ er ortogonale dersom prikkproduktet(indreproduktet) mellom dem er 0. Siden dimensjonen på rommet er 2, vil disse to vektorene utgjøre en ortogonal basis, slik at enhver vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av de to basisvektorene. Innen Fourieranalysen blir dette langt mer komplisert siden dimensjonen til rommet er uendelig. I tillegg er det spørsmål om på hvilken måte og for hvilke punkter Fourierrekkene konvergerer mot funksjonen.
Begrepet ortogonalitet er brukt fordi det er en naturlig analogi med prikkproduktet mellom vektorer i $\mathbb{R}^2$. To vektorer ulik 0-vektoren i $\mathbb{R}^2$ er ortogonale dersom prikkproduktet(indreproduktet) mellom dem er 0. Siden dimensjonen på rommet er 2, vil disse to vektorene utgjøre en ortogonal basis, slik at enhver vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av de to basisvektorene. Innen Fourieranalysen blir dette langt mer komplisert siden dimensjonen til rommet er uendelig. I tillegg er det spørsmål om på hvilken måte og for hvilke punkter Fourierrekkene konvergerer mot funksjonen.