Skal vise at en 3. gradslikning bare har en reell løsning.
Likningen: x^3+x-1=0
Noen som kan hjelpe meg? Usikker på hvordan jeg skal starte.
Reelle løsninger 3 grads likning.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hva med å se på uttrykket som en funksjon, f.eks. f(x)=0.
Da kan du analysere litt på denne funksjonen vha den deriverte til f og trekke slutninger ut fra det.
For å svare fullstendig må du vel i tillegg vise at funksjonen går mellom +/- uendelig (hvis ikke det anses som "kjent" for 3.gradsfunksjoner).
Da kan du analysere litt på denne funksjonen vha den deriverte til f og trekke slutninger ut fra det.
For å svare fullstendig må du vel i tillegg vise at funksjonen går mellom +/- uendelig (hvis ikke det anses som "kjent" for 3.gradsfunksjoner).
Generelt kan man bruke Sturm's teorem for å finne antall distinkte reelle røtter til polynomer. Sjekk ut http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem
-
Guest
Om jeg deriverer og dobbeltderiverer funksjonen finner ut jo ut at den verken har topp, bunn eller vendepunkt. Så det gir jo mening at den går fra +/- uendelig og krysser x aksen bare på en plass, men jeg er litt usikker på hvordan jeg skal vise dette.Lektorn wrote:Hva med å se på uttrykket som en funksjon, f.eks. f(x)=0.
Da kan du analysere litt på denne funksjonen vha den deriverte til f og trekke slutninger ut fra det.
For å svare fullstendig må du vel i tillegg vise at funksjonen går mellom +/- uendelig (hvis ikke det anses som "kjent" for 3.gradsfunksjoner).
Vendepunkt har nok grafen, men det er ikke så viktig her. 
Du har en polynomfunksjon så da vet vi at den er kontinuerlig og deriverbar i hele definisjonsområdet (som er R).
At den deriverte ikke har nullpunkt betyr at funksjonen enten er strengt voksende eller strengt avtagende i hele området. Da kan den krysse x-aksen bare en gang. Siden den går mellom +/- uendelig så må den nødvendigvis krysse x-aksen. Dvs. eksakt ett nullpunkt og en reell løsning av likningen.
Du har en polynomfunksjon så da vet vi at den er kontinuerlig og deriverbar i hele definisjonsområdet (som er R).
At den deriverte ikke har nullpunkt betyr at funksjonen enten er strengt voksende eller strengt avtagende i hele området. Da kan den krysse x-aksen bare en gang. Siden den går mellom +/- uendelig så må den nødvendigvis krysse x-aksen. Dvs. eksakt ett nullpunkt og en reell løsning av likningen.