Differenslikning 2 komplekse røtter

frokensol · 01/10-2014 18:05

Hei!

Holder på å løse denne likningen for

x_{n} : x_{n + 2} + 2 x_{n + 1} + 4 x_{n} = 0

Har kommet frem til at løsningen for den karakteristiske likningen er

1 \pm i \sqrt{3}

Da får jeg skrevet svaret på formen:

x_{n} = C \cdot r_{1}^{n} + D \cdot r_{2}^{n}

(1)

Mitt spørsmål er: Hvordan kommer man frem til og hvordan skal man tenke når man skal skrive svaret som i (2)?

x_{n} = E ρ^{n} \cdot c o s (n Θ) + F \cdot ρ^{n} \cdot s i n (n Θ)

(2)

.... og hva er egentlig forskjellen på disse?

gill · 15/10-2014 23:20

x_{n} = C \cdot r_{1}^{n} + D \cdot r_{2}^{n}

x_{0} = C + D

(I)

x_{1} = C \cdot r_{1} + D \cdot r_{2}

(II)

Løser ligningssystemet (I) og (II)

x_{0} - D = C

x_{1} = (x_{0} - D) \cdot r_{1} + D \cdot r_{2}

x_{1} = x_{0} \cdot r_{1} + D (r_{2} - \cdot r_{1})

\frac{x_{1} - x_{0} \cdot r_{1}}{r_{2} - \cdot r_{1}} = D

setter inn i (I)

x_{0} = C + \frac{x_{1} - x_{0} \cdot r_{1}}{r_{2} - \cdot r_{1}}

x_{0} = \frac{- x_{1} + x_{0} \cdot r_{2}}{r_{2} - \cdot r_{1}} + \frac{x_{1} - x_{0} \cdot r_{1}}{r_{2} - \cdot r_{1}}

C = \frac{- x_{1} + x_{0} \cdot r_{2}}{r_{2} - \cdot r_{1}}

\frac{x_{1} - x_{0} (a + b i)}{(a - b i) - (a + b i)} = D

\frac{x_{1} - x_{0} (a - b i)}{(a + b i) - (a - b i)} = \overset{―}{D}

C = \overset{―}{D}

komplekse tall har og formen

r_{2} = ρ c o s θ + i ρ s i n θ

bruker fra nå

r_{1} = \overset{―}{r_{2}}

\overset{―}{r_{2}} = ρ c o s θ - i ρ s i n θ = ρ c o s (- θ) + i ρ s i n (- θ)

x_{n} = C \cdot r_{1}^{n} + D \cdot r_{2}^{n} = \overset{―}{D} \cdot {\overset{―}{r_{2}}}^{n} + D \cdot {r_{2}}^{n} = (A - B i) \cdot (ρ c o s (- θ) + ρ s i n (- θ))^{n} + (A + B i) \cdot (ρ c o s θ + i ρ s i n θ)^{n}

x_{n} = (A - B i) \cdot ρ^{n} (c o s (- θ) + i s i n (- θ))^{n} + (A + B i) \cdot ρ^{n} (c o s θ + i s i n θ)^{n}

bruker de moivres formel:

x_{n} = (A - B i) \cdot ρ^{n} (c o s (- n θ) + i s i n (- n θ)) + (A + B i) \cdot ρ^{n} (c o s (n θ) + i s i n (n θ))

x_{n} = ρ^{n} (A \cdot (c o s (n θ) - i s i n (n θ)) - B i \cdot (c o s (n θ) - i s i n (n θ)) + A \cdot (c o s (n θ) + i s i n (n θ)) + B i \cdot (c o s (n θ) + i s i n (n θ)))

x_{n} = ρ^{n} (A \cdot c o s (n θ) + B i \cdot i s i n (n θ) + A \cdot c o s (n θ) + B i \cdot i s i n (n θ))

x_{n} = ρ^{n} (2 A \cdot c o s (n θ) - 2 B \cdot s i n (n θ))

E = 2 A

F = - 2 B

x_{n} = ρ^{n} (E \cdot c o s (n θ) + F \cdot s i n (n θ))