Sigma R1 - Brøk, Oppgave 4.94 d)

[trengerhjelpmedr1]

Har brukt alt for lang tid på denne oppgave. Problemet jeg sliter med er at jeg aldri klarer disse oppgavene på første forsøk, noe som betyr at jeg vil feile hardt på eksamen om jeg ikke skjerper meg. Jeg kan gå igjennom hva jeg har gjort, og forhåpentligvis vil noen av dere se hvor jeg gjør feil, og hvordan jeg kan unngå å gjøre det igjen.

Oppgave:

$\frac{x}{x+2}= \frac{1-3x}{2-x}-\frac{4x^2}{2x^2-8}$

Her starter jeg ut med å finne fellesneveren:
$x+2 = x+2$
$2-x = -(x-2)$
$2x^2-8 = 2(x+2)(x-2)$

Fellesnevneren blir da:
$2(x+2)(x-2)$

Slik jeg har forstått det er det flere måter å bruke denne informasjonen til å komme videre i oppgaven. Man kan multiplisere teller og nevner i hvert ledd med den delen som mangler av fellesnevneren for det leddet (1).

Eksepel (første ledd):
$\frac{x}{x+2}$

Her finnes allerede $(x+2)$, derfor kan jeg multiplisere hele leddet med fellesnevner - det som finnes, altså $2(x+2)$
$\frac{x \cdot 2(x+2)}{(x+2) \cdot 2(x+2)}$

Når man gjør dette i alle ledd ender man opp med:

$\frac{x \cdot 2(x-2)}{(x+2) \cdot 2(x-2)}=\frac{(1-3x)\cdot 2(x+2)}{-(x-2)\cdot 2(x+2)}-\frac{(4x^2)\cdot 1}{2(x+2)(x-2) \cdot 1}$

Herfra kan man samle alt under en brøk med fellesnevner som nevner:

$\frac{x \cdot 2(x-2) -(1-3x)\cdot 2(x+2) + 4x^2}{2(x+2)(x-2)} = 0$

Herfra kan jeg forkorte brøkene med å styke ut de faktorene som er like i teller og nevner (kan jeg visualisere at man setter strek over stykker i tekstfeltet her?):

$x -(1-3x) + 4x^2 = 0$

$x -1 + 3x + 4x^2 = 0$

$4x^2 +2x - 1 = 0$

ABC formel gir:
$x = -0,8090$
$x = 0,3090$

Fasit sier at svaret er $\frac{2}{7} = 0,2857$

Problemet med denne måten å gjøre det på er at jeg syns den er uoversiktlig å bruke på store oppgaver som denne. Jeg ender opp med å gjøre fortegnsfeil og andre småfeil som ender opp med feil resultat.

Den andre måten jeg kan (og som jeg også foretrekker) er å multiplisere hvert ledd med hele fellesnevneren og derfra stryke ut de faktorene som kan strykes.

$\frac{x}{(x+2)}\cdot 2(x+2)(x-2)=\frac{(1-3x)}{-(x-2)}\cdot 2(x+2)(x-2)-\frac{(4x^2)}{2(x+2)(x-2)}\cdot 2(x+2)(x-2)$

Man stryker de like faktorene og står igjen med:

$x \cdot 2(x-2) = \frac{(1-3x) \cdot 2(x+2)}{-} - 4x^2$

Den minusen legger jeg foran telleren:

$x \cdot 2(x-2) = -(1-3x) \cdot 2(x+2) - 4x^2$

Her må jeg forkorte. Jeg har lært at parenteser alltid skal løses opp først, men er fortsatt litt usikker på om $x\cdot 2(x-2) = 2x(x-2)$ eller $x \cdot 2x -4$:

$x \cdot 2x-4 = -1+3x \cdot 2x+4 - 4x^2$
$2x^2 -4 +1 - 6x^2 - 4 + 4x^2 = 0$
$-7 = 0$

Jeg får ikke riktig svar i noen av tilfellene. Feilen må ligge en eller annen plass. Jeg regner med at det har noe med hvordan jeg løser oppgaven etter jeg forkorter. Jeg tror jeg gjør feil når jeg skal regne ut parantesene, uten at jeg egentlig vet hvorfor. Tusen takk for all hjelp jeg kan få, og beklager at denne posten ble så lang som den ble. Til slutt vil jeg bare si at en av de tingene som plager meg mest er at jeg ikke kommer frem til samme resultat med begge metodene jeg bruker. Hvorfor? er en av de feil? Finnes det andre, kanskje bedre metoder å bruke når man regner oppgaver som dette?

[Nebuchadnezzar]

Kan vise deg en metode å løse oppgaven på

$ \begin{align*}
\frac{x}{x+2} & = \frac{1-3x}{2-x}-\frac{4x^2}{2x^2-8} \\
\frac{x}{x+2}& = \frac{3x-1}{x-2}-\frac{2x^2}{(x-2)(x+2)} \\
x(x-2) & = (3x-1)(x+2) - 2x^2 \\
x^2 - 2x & = x^2+5x-2 \\
2 & = 7x
\end{align*}
$

[trengerhjelpmedr1]

Dette så jo veldig lett ut. Jeg har noen spørsmål til metoden din:

1. Bruker du samme fellesnevner som jeg brukte?

2. Jeg ser du simpelthen bare snur ledd 2: $\frac{1-3x}{2-x}$ til $\frac{3x-1}{x-2}$. Jeg har aldri vert borti den metoden før. Er det så lett?

3. Hvorfor halverer du bare tredje leddet? $4x^2$ blir plutselig til $2x^2$.

4. Hvordan blir $2x^2-8$ til $(x-2)(x+2)$ ? Bruker man ikke denne formelen: $ax^2+bx+c$ = $a(x-x1)(x-x2)$ ?

(formateringen ble tullete når jeg quota deg)

[beverfar]

God kveld!

La meg begynne med å si at du egentlig er ganske flink, du har forstått det meste av algebraen, og (til å være så tidlig i semesteret) nok gjør det bra.

Angående de 2 fremgangsmåtene dine: de går egentlig ut på det samme, med én forskjell. Metode 1 kan alltid brukes, men metode 2 kan ikke alltid brukes om du ikke har en ligning (for eksempel om du bare har et uttrykk du skal forenkle kan du ikke gjøre metode 2).

Feilen din i metode 1, er at du glemmer det minuset som hører med under parentesen i det første leddet etter likhetstegnet. Husk på at [tex]\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}[/tex], så du kunne like godt flytte det opp med en gang.

I metode 2 kommer du veldig langt, men du ganger ut den siste innspurten feil. Det leddet du gjør feil i er dette:
[tex]−(1−3x)⋅2(x+2) = -(1-3x)(2x+4)=-(1\cdot 2x+1\cdot 4 - 3x\cdot 2x - 3x \cdot 4) = -2x-4+6x^2 + 12x[/tex]

De to andre er riktige. Håper dette hjalp.

[claves]

2. Jeg ser du simpelthen bare snur ledd 2: $\frac{1-3x}{2-x}$ til $\frac{3x-1}{x-2}$. Jeg har aldri vert borti den metoden før. Er det så lett?

Det som skjer "bak kulissene" her er at brøken utvides med $-1$. Dermed vil alle fortegnene endres.

[trengerhjelpmedr1]

God kveld!

La meg begynne med å si at du egentlig er ganske flink, du har forstått det meste av algebraen, og (til å være så tidlig i semesteret) nok gjør det bra.

Angående de 2 fremgangsmåtene dine: de går egentlig ut på det samme, med én forskjell. Metode 1 kan alltid brukes, men metode 2 kan ikke alltid brukes om du ikke har en ligning (for eksempel om du bare har et uttrykk du skal forenkle kan du ikke gjøre metode 2).

Feilen din i metode 1, er at du glemmer det minuset som hører med under parentesen i det første leddet etter likhetstegnet. Husk på at [tex]\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}[/tex], så du kunne like godt flytte det opp med en gang.

I metode 2 kommer du veldig langt, men du ganger ut den siste innspurten feil. Det leddet du gjør feil i er dette:
[tex]−(1−3x)⋅2(x+2) = -(1-3x)(2x+4)=-(1\cdot 2x+1\cdot 4 - 3x\cdot 2x - 3x \cdot 4) = -2x-4+6x^2 + 12x[/tex]

De to andre er riktige. Håper dette hjalp.

Da forstår jeg mye mer. Jeg har hatt en dårlig måte å skrive det på som gjør det vanskelig for meg å regne ut riktig. Jeg tror denne metoden er mye bedre: $−(1−3x)⋅2(x+2)$ skrives heller som $−(1−3x)⋅(2(x+2))$. Det gjør det lettere å lese for meg iallefall! Takk for hjelpen! Jeg har nå prøvd med det du sa, og kommet mye lengre. Men det er fortsatt noen plasser jeg står fast da. (Jeg bruker metode 1, fordi den føles tryggere å bruke)

$\frac{x \cdot (2(x-2))}{2(x+2)(x-2)}=\frac{-(1-3x)\cdot (2(x+2))}{2(x+2)(x-2)}-\frac{4x^2}{2(x+2)(x-2)}$


$\frac{2x^2-4x}{2(x+2)(x-2)}=\frac{-2x -4 +6x^2 +12x}{2(x+2)(x-2)}-\frac{4x^2}{2(x+2)(x-2)}$

Og nå skal jeg slå sammen slik at alt står på en brøk med samme fellesnevner sant? Jeg skifter fortegn på alt som flyttes over på venstre siden.

$\frac{2x^2 - 4x + 2x + 4 - 6x^2 - 12x + 4x^2}{2(x+2)(x-2)}$

$\frac{-12x+4}{2(x+2)(x-2)}$

$\frac{-4(3x+1)}{2(x+2)(x-2)}$

Fortsatt ikke riktig... Hvor gjør jeg feil?

[claves]

Du gjør en liten feil når du trekker sammen telleren. Sjekk koeffisienten til $x$-leddet på ny.

[trengerhjelpmedr1]

Du gjør en liten feil når du trekker sammen telleren. Sjekk koeffisienten til $x$-leddet på ny.

ja ser der ja.

$\frac{-14x+4}{2(x+2)(x-2)}$

$\frac{-2(7x+2)}{2(x+2)(x-2)}$

Deler jeg hele brøken på $-2$ sitter jeg igjen med tallene som utgjør svaret på oppgaven i telleren, men brøken er fortsatt:

$\frac{(7x+2)}{-(x+2)(x-2)}$

Denne oppgaven begynner å gå meg på nervene.. jeg gjør sikkert små feil som jeg burde se..

EDIT: Nei vent nå litt!!!

Kan jeg stryke ut de tallene som er identiske (sammen med fortegnet) i både teller og nevner på dette stadiet??

Da kan jeg stryke $-2$ fra teller og nevner, og $x+2$ fra teller og nevner.

Da sitter jeg igjen med:

$\frac {7}{2x}$

Kan dette da igjen skrives som $x = \frac{2}{7}$ ?

[Nebuchadnezzar]

Dette så jo veldig lett ut. Jeg har noen spørsmål til metoden din:

1. Bruker du samme fellesnevner som jeg brukte?

Nei, jeg bruker $(x-2)(x+2)$ som fellesnevner. Altså at jeg ganger alle leddene med det.

2. Jeg ser du simpelthen bare snur ledd 2: $\frac{1-3x}{2-x}$ til $\frac{3x-1}{x-2}$. Jeg har aldri vert borti den metoden før. Er det så lett?

Ja, det er så lett. Vi kan gange brøken med $\frac{-1}{-1}$, dette er jo bare $1$ så vi forandrer ikke verdien av uttrykket.

$ \hspace{1cm}
1 \cdot \frac{1-3x}{2-x} = \frac{-1}{-1} \frac{1-3x}{2-x} = \frac{-1+3x}{-2+x} = \frac{3x-1}{x-2}
$

Alternativt kan vi trekke ut et minustegn fra teller og nevner. Vi har jo at $(a-b) = (-1)(b-a)$. Gang ut for å se at det stemmer. Dermed så er

$ \hspace{1cm}
\frac{1-3x}{2-x} = \frac{(-1)(-1+3x)}{(-1)(-2+x)} = \frac{(-1)}{(-1)} \frac{-1+3x}{-2+x} = 1 \cdot \frac{3x-1}{x-2}
$

3. Hvorfor halverer du bare tredje leddet? $4x^2$ blir plutselig til $2x^2$.

4. Hvordan blir $2x^2-8$ til $(x-2)(x+2)$ ? Bruker man ikke denne formelen: $ax^2+bx+c$ = $a(x-x1)(x-x2)$ ?

Tar disse to i samme slengen. Løsningen er at vi forenkler brøken før vi faktoriserer. Siden vi har samme tallet i teller og nevner.
$\frac{a}{ab} = \frac{a}{a} \frac{1}{b} = 1 \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{b}$ er essensen i hva jeg gjorde.

$ \hspace{1cm}
\frac{4x^2}{2x^2-8}
= \frac{2\cdot 2x^2}{2 \cdot x^2-2 \cdot 4}
= \frac{2}{2} \frac{2x^2}{x^2 - 2^2}
= \frac{2x^2}{(x-2)(x+2)}
$

I siste overgang brukte jeg at $4=2^2$. Og deretter tredje kvadratsetning som nok er kjent fra 1T? Altså at

$ \hspace{1cm}
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
$

Som du kan sjekke stemmer ved igjen å gange ut høyresiden =)