Semiortogonalitet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Auduns
Når du har slike spørsmål, med å vise hvis og bare hvis, er det beste ofte å anta den ene tingen, og vise det andre stemmer, så det motsatte. Jeg kan ta den ene veien.
Anta U er semiorthogonal, da er U^T*U en diagonal matrise med diagonal elementer forskjellig fra 0. Så tallene i matisen er større enn 0 på diagonalen, og lik 0 utenfor diagonalen. Om du ser på utregningen av U^T*U(se på små kvadratiske matriser om dette ikke er klart), vil du se at diagonal element j er vektor u_j prikket med seg selv, og siden dette produktet er forskjellig fra 0, må u_j være forskjellig fra 0. På samme måte vil et element utenfor diagonalen være en vektor u_j prikket med en vektor u_k der j og k er forskjellige, og dette produktet er 0, så u_j og u_k må være ortogonale på hverandre.
Tilsvarende argument den andre veien.
Anta U er semiorthogonal, da er U^T*U en diagonal matrise med diagonal elementer forskjellig fra 0. Så tallene i matisen er større enn 0 på diagonalen, og lik 0 utenfor diagonalen. Om du ser på utregningen av U^T*U(se på små kvadratiske matriser om dette ikke er klart), vil du se at diagonal element j er vektor u_j prikket med seg selv, og siden dette produktet er forskjellig fra 0, må u_j være forskjellig fra 0. På samme måte vil et element utenfor diagonalen være en vektor u_j prikket med en vektor u_k der j og k er forskjellige, og dette produktet er 0, så u_j og u_k må være ortogonale på hverandre.
Tilsvarende argument den andre veien.