om det f.eks. stod $\sqrt{x+1}$ eller $\sqrt{x+4}$ så hadde det vert lett å bare sette tallene inn i en formel og løse det slik
Det finnes ikke noen spesielle formler for å skrive om røtter som $\sqrt{x+1}$ på noen bedre måte.
I dette tilfellet, der vi jobber med grenseverdier, så er det heller ikke nødvendig.
Når vi ser på $\lim\limit_{x\to0}\sqrt{x+1}$ så setter vi bare inn $x=0$, får $\sqrt{0+1}$ og ser at det blir 1. Sammen med alt det andre, så får vi $\frac00$, og bruker derfor L'Hopitals regel.
Det er ingenting vi trenger å gjøre med $\sqrt{x+1}$ her. Ingen formel ville gjort dette enklere.
Igjen, når du sier det jeg siterte over, så er jeg usikker på hva du mener med å "løse". Vi "løser" ikke kvadratrøtter. Det finnes ingen enklere måte å skrive $\sqrt{x+1}$ på. Den Taylor-utviklinga du nevner er i utgangspunktet uendelig lang, og det er som nevnt en alternativ løsning som tilfeldigvis passa bra med resten av oppgaven.