Grenseverdi

[trengerhjelpmedr1]

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}-x)$

Her bruker jeg L'Hopitals regel, og finner den deriverte av leddene. Jeg må bruke kjerneregelen på kvadratroten:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x+1}{2\sqrt{2x+1}}-1)$

Har jeg gjort riktig så langt?

Herfra er jeg litt usikker. Brøken sier jo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, og jeg vet ikke helt hvordan jeg skal tolke det. Går det mot 0? I såfall skulle vel svaret blitt -1, men det er ikke riktig.

[Oddis88]

$\sqrt{x^2+x}-x=\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$

$\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$ = $\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}$

Herfra kan du bruke l'hopitals. Dette er jo en kranglete vei , men jeg får at grensen går mot 1/2

[trengerhjelpmedr1]

$\sqrt{x^2+x}-x=\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$

$\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$ = $\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}$

Herfra kan du bruke l'hopitals. Dette er jo en kranglete vei , men jeg får at grensen går mot 1/2

Jeg er veldig interessert i overgangen fra $\sqrt{x^2+x}-x$ til $\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$ Hva gjør du her?

[Oddis88]

$x+y=x(1+\frac{y}{x})$ bruker denne algebraiske regelen

[Vektormannen]

Et litt enklere alternativ er å utvide uttrykket til en brøk med den konjugerte i nevneren: $\sqrt{x^2+x}-x=(\sqrt{x^2+x}-x)\cdot \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}$. Poenget med dette er at vi da i telleren får $(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)=x^2+x-x^2=x$ (konjugatsetningen / 3. kvadratsetning). Da blir resten av utregningen ganske grei (blir ikke nødvendig med L'Hopital osv.)

[trengerhjelpmedr1]

$x+y=x(1+\frac{y}{x})$ bruker denne algebraiske regelen

Jeg prøver å forstå hva som skjer her: Er det mulig å gi en kort forklaring, sånn at jeg forstår det bedre?

$\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$ = $\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}$

[Oddis88]

$\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})=\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}$

Her benytter jeg meg av at $x\cdot y=\frac{x}{\frac{1}{y}}$ Der $y\ne 0$

Beklager for så sent svar. Si i fra hvis det er noe mer du lurer på. Så kommer vi helt i mål til slutt Morsom oppgave.

Vektormannen har et meget godt poeng når han sier at hans måte er enklere.