Likning med brøk

[Matte96]

Kan noen hjelpe å løse denne likningen?

[pi-ra]

Hint: Finn først fellesnevner, og deretter ganger du oppe og nede slik at du får en lik nevner i alle leddene.

[Lektorn]

Helt enig i at første steg er å finne fellesnevner.
Men så ville jeg ganget hele likningen med fellesnevneren. Målet er å bli kvitt nevnerene og når du ganger med fellesnevner kan alle forkortes bort.
Når du etter litt jobb får x="noe" må du huske å sjekke om x-verdien er gyldig i linje 1 av likningen.

Skjønner ikke helt hva du mener med å gange oppe og nede?

[Matte96]

Takk for hjelpen

Men kunne du hjulpet meg i gang med å si hva felles nevneren blir?

[Nebuchadnezzar]

Anta uttrykket vårt ser slik ut $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}$ En fellesnevner
vil da for eksempel være ett uttrykk $F_n$ slik at $F_n / a_1$ og $F_n / a_2$
begge blir heltall. En mulighet vil for eksempel være $F_n = a_1 \cdot a_2$, men det
er ikke nødvendigvis at dette er den minste eller enkleste fellesnevneren.

$\hspace{1cm} \displaystyle
\begin{align*}
\frac{1}{3+2x} - \frac{2x-3}{3-2x} & = \frac{6}{9-4x^2} \\
\frac{1}{3+2x} - \frac{(-1)(3-2x)}{3-2x} & = \frac{6}{3^2-(2x)^2} \\
\frac{1}{3+2x} + 1 & = \frac{6}{(3-2x)(3+2x)}
\end{align*}
$

Herfra burde det være enklere å se fellesnevner.
Kort sagt blir fellesnevner den unike delen fra hver nevner.. Ønsker vi å være enda frekkere kan en fortsette som følger

$\hspace{1cm} \displaystyle
\begin{align*}
\frac{1}{3+2x} - \frac{2x-3}{3-2x} & = \frac{6}{9-4x^2} \\
\frac{1}{3+2x} + 1 & = \frac{6}{(3-2x)(3+2x)} \\
1 & = \frac{6}{(3-2x)(3+2x)} - \frac{1}{3+2x}\frac{3-2x}{3-2x} \\
1 & = \frac{3+2x}{(3-2x)(3+2x)} \\
1 & = \frac{1}{3-2x}
\end{align*}
$

Og regningen avsluttes ved å bestemme $x$ slik at $3-2x=1$. Men dette får være nok frekkheter rett før eksamen.

[Guest]

Men hvor blir det av 6eren på linje 3 her?

[Nebuchadnezzar]

$6-(3-2x)=3+2x$